Un sinus universel

par **Imod** » 23 Nov 2008, 12:03

Bonjour :zen:

Un exercice curieux :

Sinus est la seule fonction réelle f à valeurs réelles indéfiniment dérivable dont toutes les dérivées ( elle même comprise ) sont comprises entre -1 et 1 et telle que f'(0)=1 :doh:

Imod

par **ffpower** » 23 Nov 2008, 12:48

ouch..sans indic?Bonne chance les gens^^ :dingue2:

par **ffpower** » 23 Nov 2008, 13:03

C est un bon début^^.Et on peut meme avoir une majoration de sa croissance^^

par **Imod** » 23 Nov 2008, 23:23

En fait j'ai balancé le problème quand je l'ai découvert mais je n'ai pas de solution :cry:

A mon avis il faut plonger dans

et pour moi aussi ça attendra un peu :zen:

Imod

par **jeancam** » 24 Nov 2008, 11:05

il suffit de montrer, je crois, qu il n y a qu un nombre fini de solution. si f1 est l une d entre elle differente de sin, on a f(n+1)=1/2(sin+f(n)) infinité de solutions qui tendent simplement vers sin. de plus on a que si f(k)=f(l) k different de l cette suite ne prends qu une valeur. peut etre avec de la convexité...

par **miikou** » 24 Nov 2008, 13:51

salut,
si f verifie les hypotheses :
sin(x) = (sin(x)-sin(-x)+f(x)-f(x))/2
constatez que (sin(x)-f(x))/2 verifie aussi les hypotheses
or en valeure absolue on aurait 2|sin| = < |sin -f |
donc |sin|<|f|

par **mathelot** » 28 Nov 2008, 09:36

Imod a écrit:Bonjour :zen:

Un exercice curieux :

Sinus est la seule fonction réelle f à valeurs réelles indéfiniment dérivable dont toutes les dérivées ( elle même comprise ) sont comprises entre -1 et 1 et telle que f'(0)=1 :doh:

Imod

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par **Imod** » 30 Nov 2008, 19:31

mathelot a écrit:------------

Sans doute une invitation à ce que j'en dise plus ... Malheureusement je ne connais pas la solution mais je vais chercher :zen:

Imod

par **ffpower** » 30 Nov 2008, 19:59

Montrer que si une fonction f a toutes ses dérivées plus petites que 1 en valeur absolue,alors

par **ThSQ** » 30 Nov 2008, 20:15

Joli ...

On suppose même pas f(0)=0 ? Dingue ça.

En utilisant la relation entre coeff de Fourier de f* (f* = f restreinte à -pi..pi + périodicité) et de ses dérivées ils sont quasiment tous nuls et on a f*(x) = asin(x) + bcos(x) + c.

Ca doit être possible de recoler les morceaux (f est prolongeable en une fonction holomorphe sur C donc il y a existence et unicité du développement) et de prouver que b=c=0.

Un sinus universel

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