Le produit de 2005 nombres entiers

[raptor77]

Bonjour
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E.
Bonne chance.

[BancH]

Salut,

0 ?

[raptor77]

Désolé je viens de perdre la correction de l'exercice je peux pas confirmer :cry: :cry:

[Flodelarab]

Je confirme.

Mais je ne t'ai pas volé tes corrections
:ptdr:

[BancH]

C'est malin...

Déjà, on ne peut pas facilement calculer le produit de 2005 nombres à moins de l'écrire sous la forme d'une puissance, il suffit cependant que parmis les 2005 nombres il y ait zéro pour connaître le résultat.

Pour prouver que , il suffit de remarquer que si , alors contient autant de nombres positifs que de nombres négatifs, et si alors , étant impair, et les termes de E dans l'ordre croissant sont de la forme:

, ... , , , , ... ,

[raptor77]

C'ets bon je viens de retrouver la solution
Notons S la somme des éléments de E.

A un élément x de E, on associe l’élément y de E tel que x + y = S.

Si S/2 n’appartenait pas à E, on pourrait regrouper les éléments de E par paire ce qui contredirait le fait que Card(E) = 2005 impair.

Quitte à renuméroter les éléments, on peut supposer que E = {e1, …, e2005} de manière à ce que ei + e2006-i = S pour tout i = 1..1003.

En particulier, en sommant cette égalité pour i=1..1003, on obtient S + e1003 = 1003S.

Sachant que 2*e1003 = S, on en déduit que S = e1003 = 0 et donc le produit des éléments de E est nul.

[BancH]

J'ai fait une erreur:

si alors

J'aurais dû écrire: la somme des termes positifs de E est égale à l'opposée de la somme de ses termes négatifs.

, ... , , , , ... ,

Donc ça aussi c'est faux, mais le résultat reste le même.