Nombres entiers de la forme n^x

[Zweig]

Salut,

Une variante de http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=106531, qui vient tout droit du célèbre concours de mathématique Lowell Putnam.

Soit . On définit la suite . On suppose que .

Montrer que .

[nodjim]

S'il n'y a aucune chance pour qu'un entier élevé à une puissance irrationnelle soit entier, et très peu si cette puissance est une fraction......

[windows7]

salut

deja x superieur a 0, sinon on aura pas des entiers.

on regarde U2=2^x

on prend x=p/q avec p et q positifs

donc (2^p)^1/q

d'apres la decompositions en facteur premier on ne peut obtenir un entier si et seulement si
q/p autrement dit x=p/q est un entier, ici naturel.


reste a prouvé que x ne peut pas etre irrationel.

je serais tenter de poser x=lim Vn

ou Vn=an/bn une suite croissante de rationel : a voir ;)

[windows7]

je me suis "compliqué" la vie enfait.

on pose x= E(x)+D(x) ou E est la partie entiere et D la partie decimale

on constate donc que x >=0 sinon Un n'est pas entiere.



d'apres gauss divise Un

donc est un entier pour tout n.

D(x) est dans [0,1[

et la fonction 2^(1/v) ou v est dans ]1,+inf[ ne passe par aucun entier.

en prenant n=2 on a donc si 2^D(x) entier alors D(x)=0.

conclusion x est entier.


Edit : ca me parait trop simple pour etre un pb posé par zweig, y a t-il une erreur ?

[Doraki]

pourquoi n^E(x) divise Un ?

[windows7]

mother fok ! ouai c'est dla merde mon truc

[Doraki]

J'ai une solution en regardant les dérivées discrètes de la fonction.