Le produit de 2005 nombres entiers
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raptor77
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par raptor77 » 04 Sep 2006, 15:02
Bonjour
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E.
Bonne chance.
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BancH
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par BancH » 04 Sep 2006, 15:14
Salut,
0 ?
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raptor77
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par raptor77 » 04 Sep 2006, 15:19
Désolé je viens de perdre la correction de l'exercice je peux pas confirmer :cry: :cry:
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Flodelarab
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par Flodelarab » 04 Sep 2006, 15:22
Je confirme.
Mais je ne t'ai pas volé tes corrections
:ptdr:
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BancH
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par BancH » 04 Sep 2006, 15:38
C'est malin...
Déjà, on ne peut pas facilement calculer le produit de 2005 nombres à moins de l'écrire sous la forme d'une puissance, il suffit cependant que parmis les 2005 nombres il y ait zéro pour connaître le résultat.
Pour prouver que
, il suffit de remarquer que si
, alors
contient autant de nombres positifs que de nombres négatifs, et si
alors
,
étant impair,
et les termes de E dans l'ordre croissant sont de la forme:
,
...
,
,
,
,
...
,
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raptor77
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par raptor77 » 04 Sep 2006, 15:44
C'ets bon je viens de retrouver la solution
Notons S la somme des éléments de E.
A un élément x de E, on associe lélément y de E tel que x + y = S.
Si S/2 nappartenait pas à E, on pourrait regrouper les éléments de E par paire ce qui contredirait le fait que Card(E) = 2005 impair.
Quitte à renuméroter les éléments, on peut supposer que E = {e1,
, e2005} de manière à ce que ei + e2006-i = S pour tout i = 1..1003.
En particulier, en sommant cette égalité pour i=1..1003, on obtient S + e1003 = 1003S.
Sachant que 2*e1003 = S, on en déduit que S = e1003 = 0 et donc le produit des éléments de E est nul.
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BancH
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par BancH » 04 Sep 2006, 16:08
J'ai fait une erreur:
BancH a écrit:si
alors
J'aurais dû écrire: la somme des termes positifs de E est égale à l'opposée de la somme de ses termes négatifs.
BancH a écrit:,
...
,
,
,
,
...
,
Donc ça aussi c'est faux, mais le résultat reste le même.
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