Problème de géométrie

[MattFellow]

Bonjour à tous j'ai un problème de géométrie plutôt compliquer et j'aimerai avoir des pistes pour commencer à le résoudre. Le problème est :

"Un cercle de centre O est inscrit dans un quadrilatère ABCD dont les côtés ne sont pas parallèles. Montrez que le point O coïncide avec le point d'intersection des lignes médianes du quadrilatère si et seulement si OA . OC = OB . OD ( Une ligne médiane du quadrilatère est une droite reliant les milieux des côtés opposés)"

Merci de votre aide :lol3:

[Ben314]

J'ai une solution (pas jolie du tout : c'est que des calculs pourris de trigo... :hum: )
Mais elle montre quand même qu'il y a équivalence entre :
1) OA . OC = OB . OD
2) O est le centre de gravité du quadrilatère ABCD (donc au milieu des deux "médianes").
3) O est au moins sur une des deux droites "médianes" du quadrilatère.

Si personne ne trouve de "joli preuve", je peut mettre la (pas jolie) mienne...