Problème de géométrie

[chombier]

Bonjour à tous !

Voici un petit problème de géométrie qui a l'air tout simple, mais qui m'a bien cassé la tête :

1ère partie : étude d'un cas particulier

A, B et C sont trois points non alignés.
P est le point défini par
Q est le point défini par
R est l'intersection des droites (PQ) et (BC)

Démontrer que BC=CR

Voici une figure :


Il est interdit de faire de la géométrie analytique, et de se placer dans le repère (Je plaisante, c'est possible, mais c'est moche !!)

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2ème partie : étude du cas général

A, B et C sont trois points non alignés. et sont deux réels tels que
P est le point tel que
Q est le point tel que
R est l'intersection des droites (PQ) et (BC)

Donner l'expression de en fonction de et .

Là aussi, la géométrie analytique, bien que salvatrice, est à proscrire !!!

[chan79]

salut
pour la partie 1, il suffit de placer le milieu de [PB]. Appelons le S.
On montre facilement que (PQ) // (CS) (triangle ACS)
Donc, dans le triangle BRP, (CS) coupe [BR] en son milieu.

[chombier]

Bien vu, j'avais bien galeré pour cette partie, déjà. J'ai mis du temps à "voir" les triangles.

Pour la deuxième, c'est un peu le même principe, avec un peu plus de calculs. On arrive à une formule bizarre, qui ne dépends que de k_1 et de k_2, c'est ce qui rends l'exercice intéressant.

Si quelqu'un veut essayer :)

[chan79]

même chose
on mène par C la parallèle à (PQ) qui coupe (AB) en S.

[chombier]

même chose
on mène par C la parallèle à (PQ) qui coupe (AB) en S.

C'est le début ça. Un bon début.
(Je t'accorde que une fois que j'avais trouvé ça, le reste n'était que petits calculs)

[Lostounet]

Salut,

D'après le théorème de Ménélaüs, on peut écrire:

BR * CQ * AP = - RC * QA * PB

RC/BR = -(CQ*AP)/(QA*PB)


Comme BC = BR - RC
Alors BC/BR = 1 - RC/BR


En remplaçant:

CQ = (1 - k2)AC
AP = k1*AB
PB = (1 - k1)*AB
QA = k2*AC

On devrait pouvoir exprimer le rapport BC/BR en fonction de k1 et k2, et donc BR/BC.
Sauf erreur.

[chan79]

On sait que:

[chombier]

Well done :) :)