Olympiades des USA

[Zweig]

Salut,

Soient et des polynômes vérifiant pour tout :



Montrer que 1 est racine de .

Généralisation : Soient () et des polynômes vérifiant, pour tout :



Montrer que

[Ben314]

Vandermonde...

[lapras]

Sans réfléchir,
je dirais que si on note w=e^(2*i*pi/5), X = (P(1), Q(1), R(1)) et (les lignes sont les unes apres les autres) :
A = ( [1, w, w^2], [1,w^2,w^4], [1, w^3, w], [1,w^4,w^3] ) et bien X est dans Ker(A) donc on a juste à résoudre AY = 0....

[Ben314]

Et les trois première ligne de ta matrice A sont celle d'une matrice de...

D'ailleurs, en fait, on n'a même pas besoin d'écrire la matrice : il suffit de voir (dans la généralisation) que le polynôme

est de degré =< n-2 et s'annule en au moins n-1 points distincts de C (à savoir les racines de )

[lapras]

Vandermonde of course...
(et effectivement les matrices sont inutiles avec ta méthode, mais avec vendermonde ca marche tres bien)

[Zweig]

Je n'avais pas pensé à utiliser la matrice de Vandermonde :id:

Pour la généralisation, j'ai fait comme Ben, et pour le cas particulier, on utilise encore bien entendu les racines 5-ième de l'unité.

[benekire2]

Bonjour a tous,

j'ai pas super bien compris comment on s'en tire avec les racine 5ème de l'unité pour le cas particulier, quelqu'un pourrait - il m'expliquer brièvement ? Merci beaucoup.

[Zweig]

Un bref rappel (au moins pour ceux qui ne savent pas). On appelle racine -ième de l'unité tout solution (complexe) de l'équation . On montre sans difficultés que les racines -ième de l'unité sont tous les complexes de la forme

On montre la propriété suivante :

, pour tout défini plus haut.

Dans la généralisation, on particularise en prenant , on obtient donc , et le membre de droite est nul (d'après la relation ci-dessus). On conclut ensuite avec la remarque de Ben314.

Pour le cas particulier, on prend , mais pour conclure, on doit "résoudre" un système, ce n'est pas tout à fait le même raisonnement (que l'on ne peut pas reproduire) que celui utilisé pour la généralisation.

[benekire2]

je sais ce que sont les racines de l'unité, mais je vois pas du tout avec quoi tu fait ton système et comment ...

[Zweig]

On pose .

On a donc :

(1)
(2)
(3)
(4)

En sommant ces égalités en obtient :

D'un autre côté, donne

On trouve donc bien .

[lapras]

mais pour conclure, on doit "résoudre" un système, ce n'est pas tout à fait le même raisonnement (que l'on ne peut pas reproduire) que celui utilisé pour la généralisation.

Je signale qu'avec le systeme on peut montrer la généralisation en utilisant Vendermonde !

[benekire2]

On pose .

On a donc :

(1)
(2)
(3)
(4)

En sommant ces égalités en obtient :

Jusque là pas de soucis.

D'un autre côté, donne

On trouve donc bien .

là par contre je suis pas sur de comprendre ... epsilon n'est pas une fonction ici, donc quesque je doit comprendre ?

PS u: quand il y avait marqué P(x^5)+xQ(x^5) le x et le x "du polynôme" était la même variable ...

[Zweig]

Les (i) sont les équations du système. Certes, les x sont les mêmes, mais tu utilises les propriétés des puissances des racines n-ième de l'unité

[benekire2]

d'accord! Je comprend mieux, merci zweig ,

[Doraki]

On écrit :
P(x) = (x-1)P'(x) + P(1) (c'est pas le dérivé de P c'est juste un polynôme)
Q(x) = (x-1)Q'(x) + Q(1)
R(x) = (x-1)R'(x) + R(1)
S(x) = (x-1)S'(x) + S(1).

L'égalité de départ est
P(x^5) + xQ(x^5) + x²R(x^5) = (1+x+x²+x³+x^4)S(x).

Donc
(x^5-1)(P'(x^5)+xQ'(x^5)+x²R'(x^5)) + P(1) + xQ(1) + x²R(1) = (x^5-1)S'(x) + (1+x+x²+x³+x^4)S(1).

Donc le polynôme
(P(1)-S(1)) + x(Q(1)-S(1)) + x²(R(1)-S(1)) + x³(-S(1)) + x^4(-S(1))
est multiple de x^5-1.
Comme son degré est trop petit, il est nul, et donc S(1)=P(1)=Q(1)=R(1)=0.

La généralisation se fait exactement pareil.