Comment travaillez-vous les différents sujets des olympiades

[Olympus]

Bonsoir,

comme certains le savent déjà avec le post que j'avais fait y a quelques mois qui traite du même problème, je suis trop nul quand j'ai affaire aux exercices de géométrie des olympiades ...

Aujourd'hui par exemple, à la deuxième étape ( pour laquelle je me suis déjà qualifié grâce aux exercices d'inégalité que j'avais pu résoudre facilement à la première étape ), je n'ai pas pu résoudre cet exercice, qui pourtant a été facile pour la plupart de mes copains ...

L'énoncé :

"Soit ABC un triangle . D, E et F sont les pieds des hauteurs issus de A, B et C respectivement .

Montrer que les triangles ABC, AEF, DBF et DEC sont semblables ."

Ou encore ( dans la première étape les deux suivants ) :

"Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que DAC=BDC=36° et CBD=18° et BAC=72° .

Les diagonales [AC] et [BD] se coupent au point P .
Déterminer la mesure de l'angle APD ."

"Deux cercles et se coupent en A et B . La tangente au cercle passant par A coupe le cercle en un point C et la tangente au cercle passant par A coupe le cercle en un point D . La demi-droite passant par A ( intérieure à l'angle CAD ) coupe respectivement les cercles , et le cercle circonscrit au triangle ACD en M, N et P .

Montrer que AM=NP" .

( cela devrait suffir pour vous donner une idée de mon niveau en géométrie )

Le problème c'est que j'ai déjà un certain bagage géométrique ( théorème de Ceva, loi des Sinus + formule de Héron, quelques définitions élémentaires comme les triangles semblables, angles au centre etc... ), mais je ne suis jamais arrivé à l'utiliser dans un exercice d'olympiades ... Mon meilleur "exploit" en géométrie était quand j'avais prouvé la loi des Sinus en seconde sans aucune indication :ptdr:

Je pense que c'est plutôt dû au fait que je ne sais pas comment m'entrainer en géométrie .

En effet, si je me sens à l'aise en inégalités, c'est parce qu'il y a plusieurs mois, j'ai commencé avec des inégalités très simples qui sont souvent des applications de la propriété , puis petit à petit, je me suis attaqué à des inégalités qui ne sont que des applications de C.S et AM-GM, puis dès que je me suis senti à l'aise, je me suis attaqué aux exercices posés aux OIM ou des olympiades nationales, et maintenant je teste d'autres méthodes comme celle que m'a bien expliqué Doraki .

Par contre en géométrie, je n'ai même pas trouvé "l'équivalent" du pour bien commencer, je n'ai trouvé que des exercices qui pour la plupart me semblent impossibles à résoudre .

Les polycopies d'Animath ne répondent pas trop à mes exigences ... Même leurs exercices me semblent d'un niveau "trop haut" pour moi ! ( suis-je nul à tel point ? )

J'ai certes trouvé un article sur le blog d'un petit génie ( 14 ans o_O ) : http://www.mathlinks.ro/weblog_entry.php?t=295946 qui m'a un peu aidé ( maintenant je sais ce qu'il faut faire dans un quadrilatère cyclique ), mais c'est tout ce que j'ai trouvé ...

En inégalités, je n'ai aucun problème .

En arithmétique, j'ai aussi quelques difficultés ...

Par exemple, je n'ai pas pu résoudre ( toujours dans l'étape d'aujourd'hui ) :

"Montrer qu'il existe une infinité de nombres irrationnels et tels que : ( ) ."

Ou ( les deux suivants étaient dans les olympiades de la première étape ) :

"Soient et deux nombres réels tels que : et .

Calculer "

"Trouver tous les nombres réels tels que :
"

Sinon, j'ai trouvé le .pdf suivant qui m'a été très utile pour l'instant ( jolis exercices sur la divisibilité, nombres premiers etc... ) : http://www.mathprepa.fr/contrb/thai/thai-arithm.pdf .

En équations fonctionnelles, ben... j'avoue que je ne me suis pas encore intéressé à elles ... Mais je suppose qu'il faut juste laisser jouer son intuition et "tester" selon les conditions , , ...

Donc voilà, pour les questions :

- Pour ceux qui se sentent à l'aise dans une des disciplines dont j'ai parlé, comment aviez-vous commencé ? Quel a été l'équivalent du "" pour vous ?

- En vous basant sur mon niveau, dont vous vous aurez certainement fait une idée, que me conseillerez-vous pour m'améliorer en 15 jours au moins dans une de ces disciplines ? ( parce que la prochaine étape, si je me qualifie bien sûr, sera dans 15 jours )

- Auriez-vous des astuces passe-partout, des liens ?

Merci !

[Doraki]

Pour le premier, c'est en effet pas trop difficile.
Le moyen le plus direct de montrer que AEF est semblable à ABC est de montrer que AE/AF = AB/AC.
Et pour connaître AE il suffit de savoir que AE et EC sont à peu de chose près les produits scalaires AB.AC et BC.AC
(si tu connais les coordonnées barycentriques de l'orthocentre c'est encore mieux)

Pour le deuxième (quadrilatère convexe), c'est vicieux.
Normalement avec des calculs de trigo et une calculatrice convenable, tu peux déterminer l'angle entre les diagonales, mais une preuve géométrique nécessite vraiment de compléter la figure en rajoutant plein de droites/points pour faire apparaître suffisemment de triangles semblables pour pouvoir expliquer la mesure de l'angle. Bien sûr c'est plus facile si tu connais la mesure de l'angle à l'avance par la calculatrice, sinon tu sais pas quel genre de triangles tu dois faire apparaître.
(J'crois qu'y'a aussi des gens qui font apparaître des points cocycliques, mais je me suis jamais habitué à ces trucs)

[Zweig]

"Montrer qu'il existe une infinité de nombres irrationnels et tels que : ( ) ."

Soit tel que . L'égalité se réécrit encore :



On en tire alors

Il reste donc à montrer, par contraposition, qu'il existe qu'un nombre fini de naturel tel que , ou de manière équivalente, que l'équation n'admet un nombre fini de couples solutions dans

Clairement, les deux facteurs doivent être de même parité, d'où comme unique cas à traiter :




D'où l'unique couple solution. Ainsi est irationnel pour une infinié de valeurs de k.

On en déduit irationnel aussi (comme l'équation n'admet qu'un nombre fini de solutions, nombre dépendant du nombre de diviseurs, donc fini, de )

[poiuytreza]

Déjà, les exos d'olympiades nécessitent touours une certaine intuition, il n'y a (heureusement) pas de méthode automatique pour tout torcher sans vraiment avoir d'idées. Après, si tu cherches un "truc de base" en géométrie qui sert à peu près tout le temps et qui est pas trop compliqué à utiliser, le plus proche serait la chasse aux angles, c'est-à-dire que tu choisis quelques angles de base sur la figure (les angles d'un triangle souvent) et tu exprimes tout en fonction d'eux, en utilisant des points cocycliques notamment. Pour ça, le poly d'Animath contient pas mal d'exos d'entraînement si mes souvenirs sont bons.

[Doraki]

Pour l'arithmétique,
Bon Zweig a fait l'exo, tu devrais être ramené à montrer que k²+4k n'est presque jamais un carré assez automatiquement.

Pour les exos algébriques
déduire C = x^6+3xy+y^6 à partir de A = x²+xy+y² et de B = x^4+x²y²+y^4.
On te donne 2 équations à 2 inconnues, en quelque sorte, x et y sont à peu près déterminés par A et B, donc ce qu'on te demande est sensé.

Tu pourrais essayer d'exprimer x et y en fonction de A et B mais ça casse la symétrie. En revanche, c'est assez simple de trouver (x²+y²) et xy en fonction de A et B, puis C en fonction de (x²+y²) et xy.

(si t'es un ordinateur tu écris tous les monômes possibles A^a*B^b*C^c jusqu'à tomber sur une liaison (y'en a forcément au bout d'un moment) bon bien sûr tu peux pas savoir à l'avance que 8A^3*C+ A^6 - 3A^4*B - 9*A²*B² + 3*B^3 = 0)

Pour le 2ème :
La problème est de trouver une relation polynômiale entre t et n.
Tu as le système
u² = 7-t
v² = 7+t
u+v = n
Il faut te débrouiller pour éliminer u et v et regarder les équations en t et n que tu en déduis (c'est toujours possible, ici c'est rapide mais ça peut parfois être très très long)


Les exos géométriques sont toujours ceux qui demandent le plus d'intuition et j'ai jamais compris comment les gens faisaient pour en avoir en géométrie.

[Olympus]

Merci pour vos réponses !

@Zweig @Doraki : certes je n'ai pas demandé de corrigés, mais ça me permet de voir à quel point je suis nul quand même de ne pas avoir eu ces réflexes . :briques:

( petite remarque quand même à Zweig, c'est et pas , non ? )

Déjà, les exos d'olympiades nécessitent touours une certaine intuition, il n'y a (heureusement) pas de méthode automatique pour tout torcher sans vraiment avoir d'idées. Après, si tu cherches un "truc de base" en géométrie qui sert à peu près tout le temps et qui est pas trop compliqué à utiliser, le plus proche serait la chasse aux angles, c'est-à-dire que tu choisis quelques angles de base sur la figure (les angles d'un triangle souvent) et tu exprimes tout en fonction d'eux, en utilisant des points cocycliques notamment. Pour ça, le poly d'Animath contient pas mal d'exos d'entraînement si mes souvenirs sont bons.

Ben je ne cherche bien sûr pas de méthode automatique qui marche à tous les coups, mais juste quelques bases qui permettraient de simplifier le travail pour moi .

Par exemple en inégalités, on n'a certes pas de méthodes qui marchent à tous les coups, mais des étapes que la plupart suivent et qui aident beaucoup : homogénéisation, transformations des fractions ( l'idée consiste à transformer une fraction du genre , qu'on veut minorer, en afin de faire disparaître si on connait sa minoration ), Cauchy-Schwarz avec des constantes ( prendre le vecteur en plus du vecteur des variables ) etc...

Mais en géométrie, la seule chose que j'ai pu noter jusque maintenant c'est la chasse aux angles et l'astuce des quadrilatères cycliques, mais j'ai pas encore acquis des "réflexes" dans cette discipline ...

[lapras]

Les exos géométriques sont toujours ceux qui demandent le plus d'intuition et j'ai jamais compris comment les gens faisaient pour en avoir en géométrie.

Moi non plus !

[Olympus]

C'est encore moi !

Ben je viens faire une liste des notes que j'ai pu prendre en géométrie pour l'instant :

- Chasse aux angles :
* Cocyclicité : on recherche 4 points cocycliques puis on y applique la propriété suivante : "Dans tout quadrilatère cyclique, la sommes de deux angles opposés est " ( avec ça, le premier exo de géo dans ce topic se résout facilement puisqu'il faut juste remarquer que tous deux triangles ont le même hypoténuse, donc leurs sommets sont cocycliques, on a donc des quadrilatères cycliques ... simple application de la propriété ) .
* Les triangles semblables dans un quadrilatère cyclique .
* Si on n'a ni cocyclicité, ni de triangles semblables, faire apparaître un point qui permet d'en avoir un .

- Puis, en fonction du résultat demandé ( R, r etc... ), ( et si nécessaire ), application de la loi des Sinus et Héron .

D'autres conseils ?

[poiuytreza]

Déjà tu as oublié tout ce qui concerne les transformations et de toute façon, je vois pas comment faire tenir en une page tout ce qui peut être utile en géométrie. Par contre, je ne considère pas Héron comme une formule à connaître absolument (même pas sur de l'avoir déjà utilisé pour résoudre un exo), mais c'est toujours bon à prendre...

Mais surtout, il ne faut pas croire que les maths olympiques se résument à une liste de méthodes à apprendre par coeur. (c'est même ça qui les différencie des exos de bac) Tu seras toujours obliger de réfléchir un minimum ou d'avoir une certaine intuition, donc la seule solution est de t'entraîner.
Pour ça tu as le cours d'Animath, celui-là aussi (plus complet, mais en anglais) :
http://www-math.mit.edu/~kedlaya/geometryunbound/gu-060118.pdf
et après tu as tous les exos du monde sur mathlinks.ro

De tout façon, faire des exos est le seul moyen de progresser en maths olympiques.

Bon courage !

[GeorgeB]

De tout façon, faire des exos est le seul moyen de progresser en maths olympiques.

C'est même vrai dans les maths en général. Il y a de la méthode ... et les exos !!