L'un des problème refusé par le jury des olympiades internationales

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
waay-waay
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l'un des problème refusé par le jury des olympiades internationales

par waay-waay » 28 Juil 2012, 19:53

montrer qu'il existe une infinité des nombres entiers n pour lesquels [n.;)2] est une puissance de 2. merci ([x] est la partie entière de x)



Matt_01
Habitué(e)
Messages: 609
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par Matt_01 » 30 Juil 2012, 02:26

Le fait que [n.rac(2)] vaille 2^k se traduit par n.rac(2) appartient à [2^k,2^k + 1[
Il faudrait donc qu'à partir d'un certain rang, tous les intervalles du type [2^{k-1/2}, 2^{k-1/2} + 1/r(2) [ ne contiennent pas d'entier.
Pour cela, il faut que la partie fractionnaire de 2^{k-1/2} soit inférieure à 1-1/r(2).
Or, si 2^{k-1/2} = n + eps avec eps<1-1/r(2)<1/2, alors 2^{k+1-1/2} = 2n+2eps avec 2eps<1
Mais on devrait avoir aussi 2eps < 1-1/r(2) (sinon l'intervalle au rang (k+1) contient un entier).
Et par récurrence, on devrait avoir 2^u eps < 1-1/r(2) pour tout u > 0 : c'est impossible, à moins que eps=0, ce qui se traduit par 2^k/r(2) entier, soit r(2) rationnel ...

Sauf erreur, c'est sans relecture (mais du coup j'comprends pourquoi il a été refusé ^^).

MMu
Membre Relatif
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par MMu » 31 Juil 2012, 04:50

Pourquoi ? Trop facile ? :zen:

SaintAmand
Membre Rationnel
Messages: 901
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par SaintAmand » 31 Juil 2012, 05:12

MMu a écrit:Pourquoi ? Trop facile ? :zen:


Pas vraiment original comme problème.

Jean-Marie De Koninck & Armel Mercier, 1001 problèmes en théorie classique des nombres, ellipses, 2004, pp. 117, 374-375.

Matt_01
Habitué(e)
Messages: 609
Enregistré le: 30 Avr 2008, 19:25

par Matt_01 » 31 Juil 2012, 16:40

Déjà j'ai l'impression d'en avoir déjà vu plusieurs de ce type.
Et ensuite oui j'ai réussi à le resoudre directement, en à peine 5 minutes. Des gens préparés pour ca, je n'imagine pas qu'il n'y arrive pas aussi.

waay-waay
Messages: 4
Enregistré le: 26 Juil 2012, 02:43

salut

par waay-waay » 01 Aoû 2012, 03:53

salut mon ami peux tu envoyer la solution . merci

 

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