Meilleure martingale ?

[grouxy1]

Bonjour, j'ai arrété les études de maths après l'obtention de ma licence il y a 4 ans. Afin de ne pas trop perdre en compétences mathématiques, régulièrement je m'invente des problèmes.

Voici mon problème : trouver la meilleur martingale entre 2 possibles.

Avant des les exposer, voici un petit rappel.

A la roulette, il y a tous les nombres entiers de 0 à 36 soit 37 possibilité. 18 nombres sont rouges, 18 noirs.
Si on choisi de miser € sur l'une de ces couleurs et que je gagne, le casino me donne €.

De plus on peut miser sur l'ensembles des nombres de 1 à 12, de 13 à 24 ou de 25 à 36. Si on mise € sur l'ensemble 1 à 12 et que par exemple le 7 tombe, alors le casino me donne €. On peut appeler cette mise une douzaine.

Maintenant voici les 2 martingales à comparer :

1) On mise 1€ sur une couleur. Si celle-ci ne tombe pas, on double la mise, sinon on remporté 1€.

2) On mise 1€ sur une douzaine, si celle-ci ne tombe pas, on mise encore 1€ sur une douzaine, si ça ne tombe pas, on mise 2€, puis 3€, puis 4€, puis 6€, puis 9€, puis 14€,... Bref on additionne l'ensemble des dépenses on a mise la somme minimale telle qu'en cas de victoire, on a gagné strictement plus que ce que l'on a dépensé.



Question 1) calculer la proba de gagner en tour où est entier non nul pour les deux martingales.

Question 2) calculer la somme à avoir sur soit afin de pouvoir effectuer tours où pour les deux martingales.

Question 3) calculer l'espérance de gains pour pouvoir effectuer tours où pour les deux martingales.

Question 4) Si on possède € où x est plus petit que 100€, doit-on choisir la martingale1 ou la martingale 2 ?

Question 5) Donner l'espérance et la probabilité pour la martingale 1 à tours, où est un entier non nul.

Question 6) Donner une formule d'argent dépensé pour la martingale 2 si on effectue tours, où m est entier.

Question 7) Donner une formule générale de l'espérance de gain pour la martingale 2 si on effectue tours, où m est entier.

Question 8) Trouver l'ensemble des positifs tels qu'il soit plus intéressant de jouer à la première martingale qu'à la seconde. En sachant que est la somme que l'on dispose pour jouer.

Question 9) Je veux avoir une proba d'au moins de pouvoir sortir de casino gagnant. Je veux savoir avant même de commencer à jouer le montant maximale de mes gains totaux avant de partir pour garder cette proba .




J'ai réussi à répondre à certaines de ces questions, mais pas toutes. Je vais donner des réponses à l'ensemble des questions où j'ai la réponse.


J'espère avoir placé le sujet au bon endroit.

Merci à tous pour m'aider à trouver les réponses à mes questions manquantes.

Bien cordialement

grouxy1.

[grouxy1]

question 1 )
La probabilité de perdre au premier tour pour la première martingale est :

Or la probabilité de gagner est

Donc la probabilité de gagner en tours est de

Pour la seconde martingale, de manière analogue on a :

[grouxy1]

question 2)

Pour la première martingale, on voit que la somme à avoir est la somme des puissances de 2.

Ainsi pour allant de 1 à 10, on a besoin de
soit : 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127 ; 255 ; 511 ; 1023 (les résultats sont en )

Pour la seconde martingale, on a besoin de :
k= 1 ; 1€
k=2 ; 1+1 = 2€ car 1×2 = 3 3-2=1 (on veut comme résultat 1 ou 2)
k=3 ; 2+2=4€ car 2×3 = 6 6-4 = 2
k=4 ; 4+3=7€ car 3×3 = 9 9-7 = 2
k=5 ; 7+4 = 11€ car 4×3 = 12 12-11 = 1
k=6 ; 11 + 6 = 17€ car 6×3 = 18 18-17 = 1
k=7 ; 17 + 9 = 26€ car 9×3 = 27 27-26 = 1
k=8 ; 26 + 14 = 40 € car 14×3 = 42 42-40=2
k=9 ; 40 + 21 = 61€ car 21×3 = 63 63-61 = 2
k=10 ; 61 + 31 = 92€ car 31×3 = 93 93-92 = 1


On peut remarquer que les sommes nécessaires pour la méthode 2 sembles cloitrent beaucoup moins vite que pour la martingale 1. Mais est-ce toujours vrai ou est-ce vrai que pour un faible nombre de tours ?

[grouxy1]

L'espérance de gain est la proba de gagné multiplier par la somme gagnée - la proba de perdre multiplié par l'argent perdu en cas de défaite.

Pour la martingale 1 on a une espérance de gain de :

Donc en ne prenant que pour le cas on a une espérance d'environ :-0,521€ à 0,001€ près.


Pour la martingale 2 on a :



k=1 ; soit environ -0,027€ à 0,001€ près
k=2 ; soit environ - 0,370€ à 0,001€ près
k=3 ; soit environ 0,149€ à 0,001€ près

On appelle la somme gagnée au totale si on remporte après k tours et yk la somme à débourser

on a :
x1 = 2 y1=1
x2=1 y2=2
x3=2 y3=4
x4 =2 y4=7
x5 =1 y5=11
x6=1 y6=17
x7=1 y7=26
x8=2 y8=40
x9=2 y9=61
x10=1 y10 = 92
(voir réponse à la question 2)

Ainsi l'espérance au bout de k tours est de :

k=4 ; 0,124€ ) 0,001près
k=5 ; -0,690€ à 0,001près
k=6 ; -0,713€ à 0,001près
k=7 ; -0,736€ à 0,001près
k=8 ; 0,175€ à 0,001près
k=9 ; 0,151€ à 0,001près
k=10 ; -0,844€ à 0,001près.


Je pense qu'il y a une erreur ici car j'ai des espérances positives par moments ce qui semble faux. Mais je ne vois pas laquelle. De plus, je ne vois aucun moyen de généralisé xk et yk.

[lyceen95]

Juste pour vérifier la martingale, dans un premier temps.
Scénario 1 :
Tu joues 1€ sur une couleur.
Tant que tu es perdant, tu continues, en doublant la mise à chaque fois.
Dès que tu es gagnant, tu arrêtes, et tu repars avec le bénéfice, qui est forcément 1€

Scénario 2 :
Tu joues 1€ sur une douzaine.
Tant que tu es perdant, tu rejoues, en augmentant la mise à chaque fois (pour que, en cas de victoire, tu sois gagnant d'au moins 1 €, et avec la contrainte : le casino refuse les mises en centimes, tu ne peux pas jouer par exemple 1€80 au 3ème tour.
Quand tu es gagnant, tu arrêtes de jouer. Ton gain est alors de 1€ ou 2€

Une chose est sûre, c'est que c'est une martingale perdante. Plus précisément, toute martingale est perdante.

Regardons le scénario 2 (avec les douzaines)
A chaque fois que tu mises un montant X, tu as une espérance de 12/37 de gagner 2X, et 25/37 de perdre X , Donc tu perds en moyenne X/37
A chaque tour, tu perds en moyenne un 37ème de ta mise. Un 37ème de 0 quand tout va bien, et un 37ème de beaucoup quand ça va mal.
Tu peux additionner plusieurs tours, tu additionnes des nombres qui sont tous négatifs. Ton espérance ne fait que devenir de plus en plus négative.