Bon, puisque Lycéen95 ne se décide pas à calculer son projecteur spectral, je m'y colle. Le plus long est d'entrer la matrice de transition M. Je prends les états dans l'ordre :
0 jeton
k jetons avec en dernier 3P, pour k de 4 à 24
25 jetons
k jetons avec 2P, pour k de 3 à 23
k jetons avec 1P, pour k de 2 à 22
k jetons avec 0P, pour k de 1 à 22
23 jetons avec <2P
24 jetons avec <3P
Le code SageMath, avec les mêmes notations N,P,Q que ci-dessus :
- Code: Tout sélectionner
M=matrix(QQ,89,89)
for i in range(23) :
M[i,i]=1
for i in range(23,44):
M[i,i-22]=1/2; M[i,i+43]=1/2
for i in range(44,65) :
M[i,i-21]=1/2; M[i,i+21]=1/2
M[65,44]=1/2; M[65,0]=1/2
for i in range(66,86) :
M[i,i-21]=1/2; M[i,i-1]=1/2
M[86,87]=1/2; M[86,85]=1/2
M[87,88]=1/2; M[87,86]=1/2
M[88,22]=1/2; M[88,87]=1/2
N=M.submatrix(23,0,66,23)
P=M.submatrix(23,23,66,66)
Q=(identity_matrix(QQ,66)-P)^(-1)*N
et maintenant on peut demander :
- Code: Tout sélectionner
k=20
V=Q.row(41+k)
print 'En démarrant avec',k,'jetons, probabilité de sortir avec'
print '0 jeton :',V[0],'soit',(100*V[0]).n(12),'%'
for i in range(1,23) :
print i+3,'jetons :',V[i],'soit',(100*V[i]).n(12),'%'
print 'Espérance du nombre de jetons de sortie :'
print sum((i+3)*V[i] for i in range(1,23)), 'jetons'
avec comme réponse :
En démarrant avec 20 jetons, probabilité de sortir avec
0 jeton : 16384/3577029 soit 0.458 %
4 jetons : 4096/3577029 soit 0.115 %
5 jetons : 2048/1192343 soit 0.172 %
6 jetons : 8192/3577029 soit 0.229 %
7 jetons : 3584/1192343 soit 0.301 %
8 jetons : 14080/3577029 soit 0.394 %
9 jetons : 6144/1192343 soit 0.515 %
10 jetons : 24128/3577029 soit 0.675 %
11 jetons : 224/25369 soit 0.883 %
12 jetons : 41344/3577029 soit 1.16 %
13 jetons : 18040/1192343 soit 1.51 %
14 jetons : 70844/3577029 soit 1.98 %
15 jetons : 1344/51841 soit 2.59 %
16 jetons : 121393/3577029 soit 3.39 %
17 jetons : 105937/2384686 soit 4.44 %
18 jetons : 208010/3577029 soit 5.81 %
19 jetons : 15449/202952 soit 7.61 %
20 jetons : 5702887/57232464 soit 9.96 %
21 jetons : 311049/2384686 soit 13.0 %
22 jetons : 39088169/228929856 soit 17.1 %
23 jetons : 34111385/152619904 soit 22.4 %
24 jetons : 4873055/114464928 soit 4.26 %
25 jetons : 4873055/457859712 soit 1.06 %
Espérance du nombre de jetons de sortie :
20 jetons
L'espérance de gain, c.-à-d. l'espérance du nombre de jetons de sortie moins le nombre de jetons de départ, est bien sûr nulle, le théorème de l'arrêt de Doob nous l'avait déjà dit. Mais le théorème de Doob ne nous disait rien sur les probabilités des différents cas de sortie pour cet exercice modifié Lycéen95.
Concrètement, qu'entraîne le fait que l'espérance de gain est nulle ? Ça entraîne que, si Charles revient jouer chaque soir avec la même stratégie, la moyenne de ses gains tendra presque sûrement vers 0. La loi des grands nombres est dure, mais c'est la loi ! Aucun espoir de s'assurer un revenu de cette façon.