Martingale de l'excédent

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GaBuZoMeu
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Re: martingale de l'excédent

par GaBuZoMeu » 11 Jan 2020, 18:06

Tu remarqueras que ton calcul partiel demande 8 multiplications de matrices, tandis que mon calcul complet demande seulement une inversion et une multiplication. Comme quoi il n'est pas forcément plus fatigant d'obtenir un résultat exact qu'un résultat approché. Au fait, ton résultat approché donne-t-il des résultats concordants avec ceux que j'ai affichés ?

Je me demandais si quelqu'un remarquerait l'allusion au charlatan de première. Bravo ! Si on veut voir jusqu'où ce charlatan peut aller dans le n'importe quoi, on peut toujours faire un tour par ici.



lyceen95
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Re: martingale de l'excédent

par lyceen95 » 11 Jan 2020, 18:29

A part les 2 ou 3 personnes concernées, tout le monde avait compris l'allusion ; c'était quand même énorme.

GaBuZoMeu
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Re: martingale de l'excédent

par GaBuZoMeu » 16 Jan 2020, 13:06

Une nouvelle petite histoire : soit
- un joueur A,
- un joueur B.

Ils jouent au jeu équilibré de pile ou face. Chacun parie 1 € sur le côté qu'il veut de la pièce. Si ce côté apparaît il reçoit 1 €, sinon il perd 1€.

Le joueur A parie systématiquement sur face. Il s'est fixé un objectif de gain de 5 €. Dès qu'il arrive à son objectif de gain, il s'arrête. S'il n'y arrive pas au bout de 100 tirages, il arrête.

Le joueur B décide de copier sur A. Lui aussi parie systématiquement sur face et s'arrête s'il atteint l'objectif de gain de 5 €. Mais comme il est plus timoré que A, il s'arrête s'il a une perte de 5 €, pour limiter les dégâts. En tout état de cause, lui aussi ne dépasse pas les 100 tirages.

Qui a la meilleure stratégie ? A ou B ? Commençons par expérimenter. Quelques procédures simples en Python3:

Une procédure partieAB(seuil, max) qui retourne le gain (ou la perte) de A et de B sur une partie décrite ci-dessus pour seuil=5 et max=100:
Code: Tout sélectionner
from random import *

def partieAB(seuil,max) :
    A="In" ; B="In"
    GainA=0 ; GainB=0
    FaceMoinsPile=0
    for i in range(max) :
        FaceMoinsPile+=2*randrange(2)-1
        if A=="In" :
            if FaceMoinsPile==seuil :
                A="Out"
                GainA=FaceMoinsPile
        if B=="In" :
            if abs(FaceMoinsPile)==seuil :
                B="Out"
                GainB=FaceMoinsPile
    if A=="In" : GainA=FaceMoinsPile
    if B=="In" : GainB=FaceMoinsPile
    return {"A":GainA,"B":GainB]

Un exemple de sortie de la commande partieAB(5,100) : {'A': -8, 'B': -5}

Une autre procédure CumulGains(seuil,max,Nbparties) qui donne le cumul des gains (ou pertes) de A et B sur un ensemble de Nbparties parties :
Code: Tout sélectionner
def CumulGains(seuil,max,Nbparties) :
    Gains={"A":0,"B":0}
    for i in range(Nbparties) :
        Nouveau = partieAB(seuil,max)
        Gains["A"]+=Nouveau["A"]
        Gains["B"]+=Nouveau["B"]
    return Gains

Essayons maintenant 30 fois CumulGains(5,100,1000) (1000 parties à chaque fois, donc). La sortie :
{'A': 16, 'B': 47}
{'A': 53, 'B': 137}
{'A': -315, 'B': 47}
{'A': 387, 'B': 270}
{'A': -122, 'B': -45}
{'A': -114, 'B': 149}
{'A': 190, 'B': 257}
{'A': 34, 'B': -77}
{'A': -104, 'B': -93}
{'A': -389, 'B': -243}
{'A': 200, 'B': 113}
{'A': -292, 'B': -226}
{'A': -115, 'B': 105}
{'A': -629, 'B': -214}
{'A': 21, 'B': -119}
{'A': 277, 'B': -21}
{'A': 495, 'B': 99}
{'A': -38, 'B': 21}
{'A': -128, 'B': -184}
{'A': -10, 'B': 217}
{'A': 158, 'B': 12}
{'A': 87, 'B': 87}
{'A': 292, 'B': 11}
{'A': -132, 'B': 67}
{'A': 274, 'B': 97}
{'A': -148, 'B': 154}
{'A': 327, 'B': 218}
{'A': -344, 'B': -94}
{'A': 81, 'B': -1}
{'A': 40, 'B': -146}

Hum hum, difficile de dire qui a la bonne stratégie, et en tout cas aucune stratégie ne semble permettre d'assurer un revenu stable !

Tout simplement, ici comme précédemment, le théorème de Doob s'applique pour dire que l'espérance de gain de A est tout aussi nulle que l'espérance de gain de B. Et en conséquence, d'après le théorème central limite, le cumul des gains sur 1000 parties, pour A comme pour B, suit une loi proche d'une loi normale centrée autour de 0.

lyceen95
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Re: martingale de l'excédent

par lyceen95 » 16 Jan 2020, 16:17

La stratégie n°2 ne permet pas d'améliorer l'espérance de gain. Elle permet de réduire la variance. Et selon le point de vue, ça peut être considéré comme une amélioration, ou comme un recul.

Sylviel
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Re: martingale de l'excédent

par Sylviel » 16 Jan 2020, 20:03

Tracer les histogrammes de gains de A / B est assez parlant effectivement :

Code: Tout sélectionner
import matplotlib.pyplot as plt

A, B = [],[]
for _ in range(10000):
    a,b = partieAB(5,100)
    A.append(a)
    B.append(b)

plt.hist(A)
plt.hist(B)
plt.show()


en ayant très légèrement modifié le code précédent pour mettre
Code: Tout sélectionner
return (GainA,GainB)


on voit de manière bien évidente que joueur B a pratiquement 50% de chance de gagner 5, 50% de perdre 5. En revanche joueur A à environ 67% de chance de gagner 5, mais ses pertes s'étalent très loin, avec au moins 6% qui font une perte supérieure à 15.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

GaBuZoMeu
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Re: martingale de l'excédent

par GaBuZoMeu » 16 Jan 2020, 21:07

Illustration (A en bleu, B en orange) :

Image

LB2
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Re: martingale de l'excédent

par LB2 » 16 Jan 2020, 22:14

Hello,

joli histogramme. Cela illustre bien le fait que B a une stratégie moins risquée que A, avec une variance plus faible.

Peut-on quantifier la loi des gains algébriques de A ? au moins asymptotiquement?
Cela fait penser à une loi binomiale tronquée.

En particulier, quelle est la variance asymptotique des gains de A? et de B ?

GaBuZoMeu
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Re: martingale de l'excédent

par GaBuZoMeu » 17 Jan 2020, 00:01

LB2 a écrit:Peut-on quantifier la loi des gains algébriques de A ?


Oui. Soit la variable aléatoire "gain de A". Alors, pour ,



(étant entendu qu'un coefficient binomial est nul quand il sort des clous, comme d'habitude).

Pour ce qui est de B, pour on a



(la somme sur est en fait finie, bien sûr).

Ça se fait avec le principe de réflexion et ça a déjà été expliqué dans ce long fil, il me semble. Avec ça, on peut vérifier que l'espérance est bien nulle dans les deux cas et calculer la variance.

GaBuZoMeu
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Re: martingale de l'excédent

par GaBuZoMeu » 17 Jan 2020, 09:24

En utilisant les formules ci-dessus, on obtient que la variance du gain de A est :
2302787867600881483528930935175/39614081257132168796771975168
ce qui fait un écart-type d'à peu près 7.62.
La variance du gain de B est :
1967170630643480826770971805275/79228162514264337593543950336
ce qui fait un écart type d'à peu près 4.98, légèrement en dessous de 5.

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leon1789
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Re: martingale de l'excédent

par leon1789 » 19 Jan 2020, 22:15

LeJeu a écrit:(...) Pour arriver à la conclusion , comme tout le monde, qu'il n'y a pas de retard, pas de passé...
Seul Dlz était en désaccord .

Quand je pense que Dlz raconte à qui veut l'entendre que tu étais d'accord avec lui sur la récupération du retard, etc. :lol: :lol: Entre ce qu'il raconte et la réalité, ça fait souvent deux.

LeJeu
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Re: martingale de l'excédent

par LeJeu » 25 Jan 2020, 09:41

Salut Leon,

Oui les fake news sont toujours construites de la même façon, un peu de vrai ( on avait discuté de la validité de rand()) et beaucoup de faux : plus c'est gros, plus ça marche et on mise que personne n'ira vérifier..

J'en profite pour remercier GaBuZomeu pour toutes ses contributions sur ce fil

Le Jeu

Sylviel
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Re: martingale de l'excédent

par Sylviel » 15 Juin 2020, 21:16

Sans surprise il a récemment ressorti un argument du type "LeJeu a fait une simulation qui confirme mes dires"...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

 

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