Meilleur majorant

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
aviateur
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Meilleur majorant

par aviateur » 09 Aoû 2018, 12:42

Bonjour
Voici une énigme peut être pas très facile.
Soit la fonction f définie sur par

Déterminer le plus petit des majorants de f.



FLBP
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Re: Meilleur majorant

par FLBP » 10 Aoû 2018, 14:26

Salut,
Je suis parti d'une hypothèse pas très formelle (Ben va me détruire) qui est que et ont le même facteur de proportionnalité par rapport à . (je me suis permis cette facétie car l'expression est symétrique), je remplace et par , les se simplifient et donnent une expression de ou le maximum global se situe en . (donc )
Je remplace dans l'expression, tout se simplifie et trouve :
Du coup, avec un peu de chance c'est ça :)

pascal16
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Re: Meilleur majorant

par pascal16 » 10 Aoû 2018, 14:57

c'est marrant un petit programme qui regarde pour a,b et c entre -10 et 10, par pas de 0.1 trouve 2.4 comme max

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Lostounet
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Re: Meilleur majorant

par Lostounet » 10 Aoû 2018, 16:17

FLBP a écrit:Salut,
Je suis parti d'une hypothèse pas très formelle (Ben va me détruire) qui est que et ont le même facteur de proportionnalité par rapport à . (je me suis permis cette facétie car l'expression est symétrique), je remplace et par , les se simplifient et donnent une expression de ou le maximum global se situe en . (donc )
Je remplace dans l'expression, tout se simplifie et trouve :
Du coup, avec un peu de chance c'est ça :)


Salut,
Je ne comprends pas trop comment tu supposes à la fois que b=xa et que c=xa aussi (donc b=c?)

Par contre j'aime bien ton idée... elle permet de virer a.
Si je pose b=xa et c=ya je me retrouve à devoir maximizer la fonction f à deux variables:

F(x;y)=(1+y)(1+x)/(1+2y^2+2x^2) + (1+y)(x+y)/(y^2+2x^2+2) + (1+x)(x+y)/(x^2+2y^2+2)

Les dérivée partielles (symétriques) sont assez moches mais il semblerait qu'elles s'annulent en (x,y)=(1,1) comme prévu.

aviateur
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Re: Meilleur majorant

par aviateur » 10 Aoû 2018, 20:05

Bonjour
Oui le sup est un max et il est égal à 12/5 comme le dit FBLP.
Ce n'est qu'une première étape. Il faut le prouver.
Mais ce n'est pas très facile à trouver (tout au moins pour la solution que j'ai)

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Ben314
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Re: Meilleur majorant

par Ben314 » 12 Aoû 2018, 09:00

Salut,





.





Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

aviateur
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Re: Meilleur majorant

par aviateur » 12 Aoû 2018, 09:51

Bonjour
Bravo @ben, je trouve très bien ta solution.



Pour laisser vivre l'énigme je donne quelques indications pour une autre solution, très différente de la tienne, (peut être presque identique du point de vue calculatoire ) et qui a aussi son propre intérêt:

Indication 1
L'inégalité est équivalente à
est un polynôme de degré 6.

Indication 2
Penser à utiliser un lemme qui est dans une énigme que j'ai donnée il y a quelques jours (et résolue par @ben) voir le lien ci-dessus.
https://www.maths-forum.com/enigmes/arithmetique-t196201.html

aviateur
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Re: Meilleur majorant

par aviateur » 12 Aoû 2018, 11:42

Rebonjour
Une énigme dans l'énigme dont @ben est hors concours (tout le monde comprendra.)

Majorer

En fait c'est complètement analogue à l'énigme du départ mais il s'agit de voir quel est l'équivalent du lemme 1 de la solution donnée par @ben

LeJeu
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Re: Meilleur majorant

par LeJeu » 12 Aoû 2018, 15:41

Bonjour,

1) Tant qu'a faire on doit pouvoir montrer que

pour




est majoré par

2) La question se pose maintenant des savoir ce qui arrive si les 3 coefficients ne sont pas positif :
par exemple p<0 et q>0, r>0

Il semble que le maximum ne soit plus obtenu pour a= b = c

Je n'ai pas la soluce...

aviateur
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Re: Meilleur majorant

par aviateur » 12 Aoû 2018, 16:22

Oui Lejeu, on peut essayer de généraliser, est-ce que pour p>q>r>0 on a la majoration que tu dis?
Je n'ai pas regardé mais on a ici au moins 2 méthodes et c'est surement faisable.

Néanmoins il faudra faire attention car avec p=1,q=2 et r=15 alors
f(1,1,1) n'est pas un majorant mais un minorant.

Par contre si p<0 négatif ton expression ne sera pas bornée la question ne se pose plus.

aviateur
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Re: Meilleur majorant

par aviateur » 12 Aoû 2018, 22:37

Bonjour
Je donne la seconde méthode: on met donc l'inégalité sous la forme

On pose p=a+b+c; q=ab+bc+ca; r=abc et étant homogène, symétrique, il s'exprime sous la forme d'un polynôme en p,q,r plus précisément

w est une constante et et sont des polynômes à 2 variables dont il n'est pas nécessaire dans dire d'avantage comme on le verra juste après.
Calculons w: on a

et par conséquent
C'est là qu'intervient le lemme vu dans l'énigme citée plus haut.
Cette énigme dit que pour p et q fixé on sait que r est extrémal ssi au moins deux nombres parmi a,b,c sont égaux.
Or est quadratique par rapport à r, et le coeff w de est négatif. i;e comme fonction de r, est concave et sera minimale si r est extrémale. On rejoint l'idée de @FBLP
C'est à dire est minimale si par exemple b=c, mais vu l'homogénéité et le degré 6 il suffit de regarder et.
Maintenant il y a un peu de calcul tout de même: (mais le facteur (x-1)^2 est facile à deviner)
(nul seulement si x=1)
et , si c.q.f.d

 

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