Matrices

[Trident]

Bonjour à tous.

Arriveriez vous à montrer l'un des théorèmes suivants :

L'ensemble des matrices de taille n x p à coefficient dans K ou K représente l'un des trois corps Q , R ou C sera noté M (n,p) [K] (je sais pas comment on fait en Latex) :id: .

-1° Si A appartient à M(n,p) [K] est non nulle , alors il existe une matrice P appartenant à M(n) [K] produit de matrices élémentaires telle que PA est en échelons.

Remarque : En particulier , la matrice P est inversible.


- 2° Toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires.

- 3° Démontrez que la méthode de Gauss pour inverser une matrice marche tout le temps si la matrice en question est inversible.

- 4° Démontrez que det(AB) = det(A) * det(B) (A et B deux matrices de M (n,p) [K] )


Je peux vous envoyer les corrections (qui ne sont pas au programme de première année) mais en particulier le premier théorème , il est costaud à démontrer. :zen:


Enfin, question un peu plus abordable , j'ai peur que ça soit archi facile et que ça n'ai pas sa place dans la partie "défi" mais je vais essayer : :we:

Donner une formule permettant de décrire le terme général des deux matrices ci contre :



et :

[Trident]

Personne ? :zen:

[Trident]

J'ai donné quelque chose de trop dur ?

[Nightmare]

Bonjour,

au contraire, les questions sont très faciles, mais surtout très classiques pour quelqu'un qui a déjà fait de l'algèbre linéaire (à part la dernière qui n'a rien à voir avec les matrices)

[Trident]

Ah bon ? Le théorème ci contre est assez difficile à démontrer pour quelqu'un qui n'a jamais lu la démonstration il me semble !

-1° Si A appartient à M(n,p) [K] est non nulle , alors il existe une matrice P appartenant à M(n) [K] produit de matrices élémentaires telle que PA est en échelons.

[Nightmare]

La démonstration, c'est le pivot de Gauss, et a priori quelqu'un qui ne sait pas comment marche le pivot de Gauss, c'est qu'il n'y connait rien aux matrices, donc effectivement, trouver la démonstration risque de lui être difficile ^^

[Trident]

Ouais mais la démonstration , c'est démontrez que toutes les matrices au monde de taille n x p peuvent se mettre en échelon à l'aide d'opérations élémentaires, c'est un peu plus difficile qu'un simple pivot de Gauss ^^.

Et la démonstration : "Montrez que la méthode de Gauss pour inverser une matrice marche tout le temps" , c'est une méthode générale aussi, pas sûr que ça soit si facile que ça. Enfin, peut être que je prends mon cas pour une généralité mais quand j'ai vu la démonstration , ça me paraissait bien délicat . :)