Martingale de l'excédent

[beagle]

Bonjour à tous et à toutes,
Je cherche à bien comprendre le fonctionnement de la martingale de l'excédent.

Pour le moement j'ai trouvé la description ici:
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... leFace.htm

mais je trouve peu d'autres ref

Donc si vous avez:
des explications à donner
des refs à donner
d'autres mots clés pour avoir d'autres refs

Il ne s'agit pas de jouer , de l'utiliser.
Il s'agit d'en comprendre le principe.

Merci

[beagle]

salut beagle,
je t'ai trouvé ça:
https://books.google.fr/books?id=EBErDw ... ce&f=false

donc principe de compensation semble autre mot clé pour des refs

et ce qui me fait rire c'est que l'on peut jouer l'inverse de la compensation.
autrement dit l'info historique , le passé de la série n'est pas le facteur qui intervient … si je comprends bien

[GaBuZoMeu]

Le passé de la série ne joue absolument pas, bien entendu.
C'est aussi un théorème qu'il est presque sûr que P-F passera une infinité de fois par 42 ... ou par -2019 ... ou par ce que tu veux.

[beagle]

Le passé de la série ne joue absolument pas, bien entendu.
C'est aussi un théorème qu'il est presque sûr que P-F passera une infinité de fois par 42 ... ou par -2019 ... ou par ce que tu veux.

OK merci,
cela me rassure.
Je suis sur le site de Pierre avec des gens qui utilisent le retard pour augmenter les chances de gain dans le futur de la serie.
Et Ltav m'a mis ça dans les pattes.
Or j'y connais que couic en théorie des jeux et plein d'autres choses, cela m'a surpris un peu.

[GaBuZoMeu]

Ltav je le connais bien, c'est un charlatan de première.

[LeJeu]

Bonjour Beagle,

C'est une spécificité de Dlz que de défendre ce genre de théorie, c'est pour ça que cela avait frotté grave ici avec lui ! ( avec l'argument "puisque le pile n'est pas sorti depuis longtemps il va bien finir par sortir ..." : imparable)

Il faut avoir vu un joueur sortir ruiné du casino pour se méfier.... ( et on voit peu de casino faire faillite)

Mais d'une autre coté c'est tellement partagé.... au loto, en bourse ( je ne vais pas lancer le débat de savoir quel % de joueurs y croient !)

[beagle]

Salut LeJeu ,
Pierre a été banni des différents forums de maths.

On n'est pas mieux servi que par soi-même , il a créé son site:
dlz9.forumactif.com/

Il y répète régulièrement que leJeu est un gars bien, un scientifique honnète,
bon jusque là je peux adhérer,
mais aussi que du temps de nuage sur maths forum, tu avais vérifié par tes propres tests que l'on pouvait gagner en jouant le retard au loto.Un truc genre décalage de 2% par rapport à jouer le hasard!

Alors ça je veux bien que tu nous rappelle cette vérification.

Il nous en parle régulièrement.

[GaBuZoMeu]

Faisons une suite de tirages à pile ou face. La probabilité d'avoir piles à l'issue de ces tirages est , tout le monde est d'accord là-dessus. C'est la loi binomiale.
Maintenant, décomposons l'histoire : d'abord les premiers tirages, puis les derniers.

La probabilité d'avoir piles à l'issue des premiers tirages est . Normalement, personne ne devrait avoir à redire à cela.

Quand on a déjà fait tirages, quelle que soit l'histoire précédente de la série de tirages, la probabilité d'avoir piles dans les tirages qui suivent est toujours (même si au bout des premiers tirages on avait 0 pile !). Ceci, même si ça chagrine les tenants du "rattrapage". La pièce est de mauvaise volonté, elle ne fait aucun effort pour rattraper son retard.

Mais bien qu'il n'y ait aucun rattrapage, la formule des probabilités totales nous dit que la probabilité d'obtenir en tout piles, quand on décompose l'histoire en deux morceaux, est



on retombe toujours bien sur la loi binomiale.

Je veux bien donner une démonstration de l'identité à coup de bijection, pour faire plaisir à Beagle.

[LeJeu]

Salut LeJeu ,
Alors ça je veux bien que tu nous rappelle cette vérification.

Il nous en parle régulièrement.

J'ai retrouvé un fil intéressant de 2011, "Retard probabilité et statistiques" : Beagle ce n'est pas beau de vieillir... tu étais déjà dans la bagarre ( car c'était la bagarre...)
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/retard-probabilite-statistiques-t117225-160.html ( page 9)
On y retrouve aussi tous les artistes de l'époque Nuage ,SkulKid, Fpower

J'y fais une contribution ou je réécris l'exemple qui fait controverse avec un nouveau générateur de nombre aléatoire ( Makoto Matsumoto and Takuji Nishimura) ,

Pour arriver à la conclusion , comme tout le monde, qu'il n'y a pas de retard, pas de passé...

Seul Dlz était en désaccord .

[beagle]

ah, ok merci , je savais etre present à l'époque mais je ne me souviens plus de mes contributions.
et je ne retrouvais plus ce fil de discussion.
Sur les combinaisons je devais tenir la route mais sur les séries infinies j'ai du écrire des bétises à mon arrivée sur maths forum
effectivement nuage skullkid et ffpower étaient les cadors de l'époque ...

Je viens d'acheter le numéro de Pour la science sur le hasard.
Je vais pouvoir en parler avec Pierre et tout embrouiller encore plus!!!
On n' a pas fini...aie aie!

[GaBuZoMeu]

Petit exercice :

Au bout de 99 tirages, il y a 52 piles et 47 faces : pile est en avance de 5.
Quelle est, en fonction de n, la probabilité pour qu'au bout de n tirages supplémentaires se produise pour la première fois l'événement suivant :
1°) face rattrape son retard ;
2°) pile augmente son avance à 10 .

[lyceen95]

On ne peut pas savoir, on a besoin de connaître plus précisément l'historique. On sait que Pile est en avance sur Face, mais tu ne dis pas si Pile vient de prendre de l'avance, ou si Pile était en avance au tout début, et l'écart est stable depuis les 40 ou 50 derniers tirages. Si par exemple, il y a eu 52 piles au début , et ensuite 47 faces, ou s'il y a eu alternativement 1 pile et 1 face depuis le début, avec quelques exceptions, l'impact sur la suite n'est pas le même.

Cette réponse, c'est la réponse que je devrais faire si je considérais que les tirages passés influent sur les tirages à venir. Bien entendu, c'est une grosse blague, et la probabilité est la même pour les 2 questions.

[GaBuZoMeu]

Ça c'est la partie évidente.
Mais que vaut cette probabilité ? Quelle est la loi de cette variable aléatoire n ? Et, question bonus, quelle est son espérance ?

[lyceen95]

La probabilité d'avoir exactement +5 ou -5 après n lancers, c'est quoi ?
Pour avoir +5 ou - 5,il faut déjà que n soit impair. sinon c'est impossible. Il faut aussi que n soit au moins égal à 5.

Si n est impair et au moins égal à 5, pour avoir +5, il faut avoir (n+5)/2 Piles et (n-5)/2 Face
Notons et
Avec ces notations :

[GaBuZoMeu]

Ben non.
Je rappelle que la variable aléatoire n est le nombre de tirages supplémentaires pour que face rattrape son retard pour la première fois (ou que pile double son avance pour la première fois).

[lyceen95]

Ahh ! J'aurais dû me douter que j'étais hors-sujet, c'était trop facile.
Exercice déjà vu ... je le laisse aux plus courageux que moi.

[GaBuZoMeu]

Indication : principe de symétrie (ou de réflexion), plus la remarque qu'un chemin montant de 1 ou descendant de 1 à chaque étape qui part du niveau 0 et qui atteint pour la première fois le niveau 5 en 2k+1 étapes est au niveau 4 au bout de 2k étapes, sans avoir jamais passé au niveau 5.

[GaBuZoMeu]

Un petit peu de simulation, avant de revenir à la théorie.
Je donne ci-dessous un petit code en Python3 pour produire une suite de "prem" tirages entre 0 et 1 avec retard de 0 égal à "ret" (de même parité que "prem"), puis effectuer ensuite "der" tirages (toujours même parité) pour voir si et quand il y a rattrapage du retard, ou doublement du retard.

Code: Tout sélectionner

from random import *

def essai(prem,ret,der) :
# fait prem tirages entre 0 et 1,
# recommence jusqu'à ce que le retard de 0 sur 1
# soit égal à ret au bout des prem tirages
    r=0
    while r != ret :
        r=0
        for i in range(prem) :
            if randrange(2)==0 : r-=1
            else : r+=1
# après les prem tirages avec 0 en retard de ret,
# fait der autres tirages et renvoie
# rat : 1 si retard rattrapé, 0 sinon
# trat : nombre de tirages supplémentaires pour rattrapage
# dbl : 1 si doublement retard, 0 sinon
# tdbl : nombre de tirages supplémentaires pour doublement
    rat=0; trat="NA"; dbl=0; tdbl="NA"
    for j in range(der) :
        if randrange(2)==0 : r-=1
        else : r+=1
        if rat==0 :
            if r==0 :
                trat=j+1 ; rat=1
        if dbl==0 :
            if r==2*ret :
                tdbl=j+1 ; dbl=1
    return rat,trat,dbl,tdbl

Bien entendu, la première partie (faire "prem" tirages avec un retard fixé à "rem") ne sert absolument à rien. Mais il y a des gens qui s'imaginent que l'histoire des premiers tirages influe sur les derniers, sans se rendre compte que c'est contraire à l'hypothèse d'indépendance des tirages ...

Un exemple d'utilisation de la procédure :

Code: Tout sélectionner

for i in range(10) : print (essai(99,5,101))

retourne

Code: Tout sélectionner

(0, 'NA', 1, 73)
(1, 21, 1, 57)
(0, 'NA', 1, 15)
(1, 59, 0, 'NA')
(1, 73, 1, 9)
(1, 17, 0, 'NA')
(1, 31, 1, 9)
(1, 23, 0, 'NA')
(1, 13, 0, 'NA')
(1, 33, 0, 'NA')


Le premier quadruplet dit qu'il n'y a pas eu rattrapage, et qu'il y a eu doublement du retard au 73e tirage supplémentaire.

On regarde un peu ce qui se passe quand on fait varier le nombre de tirages supplémentaires :

sur 1000 essais :
487 rattrapages en au plus 51 tirages
492 doublement de retard en au plus 51 tirages

sur 1000 essais :
618 rattrapages en au plus 101 tirages
634 doublement de retard en au plus 101 tirages

sur 1000 essais :
693 rattrapages en au plus 151 tirages
660 doublement de retard en au plus 151 tirages

sur 1000 essais :
718 rattrapages en au plus 201 tirages
718 doublement de retard en au plus 201 tirages

sur 1000 essais :
757 rattrapages en au plus 251 tirages
753 doublement de retard en au plus 251 tirages

La dernière réponse, par exemple, est obtenue avec

Code: Tout sélectionner

n=251
L=[essai(99,5,n) for i in range(1000)]
print ("sur 1000 essais :")
print ([e[0] for e in L].count(1),\
       "rattrapages en au plus", n, "tirages")
print ([e[2] for e in L].count(1),\
       "doublement de retard en au plus", n, "tirages")

On va pouvoir comparer avec les résultats théoriques.
Une chose déjà : ça illustre bien le fait qu'il n'y a aucun avantage à parier sur le rattrapage du retard par rapport au doublement du retard.

[GaBuZoMeu]

Revenons à la théorie.
On appelle la variable aléatoire qui est le nombre de tirages supplémentaires à effectuer pour arriver la première fois à ce que le nombre de faces rattrape son retard de 5. Comme les tirages supplémentaires sont indépendants des 99 tirages précédents, est le nombre de tirages à effectuer pour que face soit en avance de 5 sur pile.
Pour trouver la loi de , on va compter les chemins (montant ou descendant de 1 à chaque étape) partant de 0 et arrivant pour la première fois au niveau 5 au bout de étapes.
Si est pair, aucun chemin. Si , un tel chemin sera au niveau 4 à l'étape . On est donc amené à compter les chemins arrivant au niveau 4 au bout de étapes sans jamais être passés par le niveau 5. En oubliant cette dernière contrainte, ça fait chemins. Mais il faut retirer de ça les mauvais chemins, ceux qui passent par le niveau 5. C'est ici qu'intervient le principe de symétrie : un tel mauvais chemin, on le modifie en prenant son symétrique par rapport à la droite à partir du moment où le chemin touche cette droite. Sur le dessin, un mauvais chemin en rouge et la partie modifiée en vert.



Indication ajoutée spécialement pour le charlatan de première, qui finira peut-être par comprendre le principe de réflexion : cette modification des mauvais chemins illustrée par le dessin réalise une bijection entre l'ensemble des mauvais chemins et l'ensemble de tous les chemins qui arrivent au niveau 6 en étapes. Le nombre de mauvais chemins est ainsi égal au nombre de chemins qui arrivent au niveau 6 au bout de étapes et donc le nombre de bons chemins est



La loi de est donc donnée par et .

Prochain épisode : calcul de l'espérance de .

[GaBuZoMeu]

Calculons l'espérance de la variable aléatoire . C'est



On peut trouver un équivalent simple du terme général de cette série grâce à la formule de Stirling.



Cet équivalent est le terme général d'une série qui diverge vers . Donc . Troublant, non ? On a un événement qui se produit presque sûrement une infinité de fois, mais l'espérance du temps d'arrivée est infinie !
De quoi porter un coup au moral des tenants de la martingale de l'excédent - sauf que ça leur en touche une sans faire bouger l'autre vu qu'ils ne comprennent pas grand chose aux probas.

Prochain et dernier épisode : confronter la théorie à la simulation.