Martingale de l'excédent

[beagle2]

je connais rien aux gains de jeu
donc 80% on cherche 0,8

bon j'ai pas regardé si je pouvais grimper à 0,8, apriori non je vais sur 0,75

'est curieux que je retombe sur du 0,75 d'arriver à 25

[GaBuZoMeu]

Euh, beagle, ça devient un peu n'importe quoi, là.
(Je sais, tu vas encore trouver que je t'agresse de façon intolérable).
Allez, bonne nuit ! Ça ira mieux demain pour toi, j'espère.

[beagle2]

ah 4/5 j'aurai juré que cela faisait 80% ou 0,8 d'avoir les 25.
je vais recalculer demain t'as raison

[lyceen95]

Et donc, on a une matrice M de taille 26x26 ; par une simple multiplication de matrice , on peut calculer facilement M2 puis M^4, puis M^8 ...
Même en restant dans une approche d'informaticien, j'aurais pu économiser beaucoup de traitements, puisqu'à chaque étape, on multiplie l'exposant par 2, au lieu de simplement ajouter 1

Mais pour économiser 2mn de temps de traitement, ça m'aurait coûté plus de 2 mn de temps de développement ; pas de regrets.

Et donc l'approche mathématique, ça doit être en recherchant les vecteurs propres de cette matrice ...

[lyceen95]

Beagle,
Dès que tu parles mathématiques, tout est confus.

Tu annonces des nombres 0.7, 0.8 , mais tu ne dis pas ce que représentent ces nombres.
Est-ce que c'est le pourcentage de cas où Charles sort gagnant ? Charles gagnerait dans 70 ou 80% des cas.

Est- ce que c'est l'espérance de gain : si Charles gagne dans 85% des cas et perd dans 15%, il a une espérance de 0.83*5-0.17*20 = 0.75 ?

On finit par deviner que ce que tu calcules, c'est la 1ère option, c'est le pourcentage de fois où Charles sort gagnant...

[beagle2]

Lorsque GBMZ me parle de 4/5 de gagner les 25,
et qu'ensuite je dis ah bon c'est 80% faut 0,8% GBZM est perdu
c'est étonnant non?
"
On finit par deviner que ce que tu calcules, c'est la 1ère option, c'est le pourcentage de fois où Charles sort gagnant…"
oui

Bon alors oui cela dépasse les 0,75
donc probablement les 0,8 y seront

et le calcul c'est:
1/2 avec des puissances impaires a remultiplier par un facteur

le début est
1/2 + (1/2)^3 + 2(1/2)^5 + 4(1/2)^7 + 10(1/2)^7 + 20(1/2)^9 + k(1/2)^11 + i(1/2)13 + ...
mais je vais pas etre motivé à cherhcer k puis i, vu l'ambiance...
le 10 est bon, déjà 20 est priori …

[lyceen95]

C'est de la bienveillance, rien d'autre.

[beagle2]

Bon alors désolé, oui je cherchais proba de passer de 20à 25

Donc mon calcul direct en additionnant les moments de gain,
est à 0,738
lorsque le calcul indirect (1- moments de perte)
est à 0,87

et bien sur tout cela va se compléter (je suis à 10 d'une serie qui n'en finit pas)
donc a priori cette méthode trouve bien 0,8 de gagner 25 avec un départ de 20

[GaBuZoMeu]

Bonjour Beagle,

J'espère que tu as bien dormi et que tu es de bonne humeur, parce que je vais te dire des choses pas très agréables.

Lorsque GBMZ me parle de 4/5 de gagner les 25,

Non. Je parle de 4 chances sur 5 de sortir du jeu avec 25 jetons, ce qui ne fait pas un gain de 25 mais un gain de 5. Et ceci n'est pas l'espérance de gain qui est demandée. Encore une fois, l'espérance de gain est la moyenne des gains (les pertes étant des gains négatifs), le poids d'un gain étant la probabilité de l'obtenir. Ici, (4/5)x5 + (1/5)x(-20) = 0. L'espérance de gain est nulle.
La notion d'espérance de gain, même dlzlogic la comprend. Je suis sûr que tu la comprends aussi !

Passons ensuite à ton calcul de la probabilité de sortie avec 25 jetons. Tu sais, j'ai des moyens très limités et je ne comprends vite que quand on m'explique longtemps et précisément. Lycéen95 a expliqué clairement ce qu'il faisait et j'ai parfaitement compris. Toi, tu n'as rien expliqué du tout et je n'ai rien compris. Quel est le sens de

1/2 + (1/2)^3 + 2(1/2)^5 + 4(1/2)^7 + 10(1/2)^7 + 20(1/2)^9 + k(1/2)^11 + i(1/2)13 + ...

J'essaie de faire de la retro-ingénierie. Des puissances impaires de 1/2, se pourrait-il que tu comptes des proportions de chemins de longueur impaires amenant du niveau 20 au niveau 25 ?
Mais si on compte le nombre de chemins amenant du niveau 20 au niveau 25 pour la première fois en étapes, sans jamais passer au niveau 0, on trouve sauf erreur



C'est en fait une somme finie puisqu'on doit avoir pour assurer que le coefficient binomial est non nul. Cette somme s'obtient encore une fois en appliquant le principe de réflexion mais cette fois-ci avec deux miroirs aux niveaux 0 et 25, qui font apparaître une infinité de miroirs reflétés aux niveaux pour (comme dans une cage d'ascenseur avec deux parois opposées couvertes de miroirs).

On pourrait de cette manière calculer la probabilité de sortie du jeu avec 25 jetons comme somme de la série



Mais visiblement ce n'est pas ce que tu fais. Il y a sans doute une idée intéressante dans ta façon de mener le calcul. Si seulement tu te décidais à l'expliquer ...

[beagle2]

Bonjour Gabuzomeu,
bon alors sur esperance de gain je suis une quiche, faut que je me concentre j'ai pas l'habitude de ces calculs.
Donc oui je me suis dit que chercher proba de gagner 5 jetons et passer de 20 à 25 pouvait avoir un rapport avec le sujet de l'exo.

Bref, il faut bien comprendre que je suis une personne sensible, timide et en plus limité en maths.
Alors il me faut une ambiance d'encouragement pour que j'avance.
Donc pour commencer je n'aurai pas balancé mon idée si je trouvais 0,75 alors que c'était 0,8.
Ben j'aurai gardé le truc pour moi.



Je te laisse une chance de trouver ce que j'ai fait à partir:
-oui cela ne peut pas etre de base tres complexe ce n'est pas de la modestie, mes compétences maths sont limitées
-il y a un rapport avec les discussions antérieures, bon je n'ai pas participé a ton fil, muet comme tu le dis parce que c'était trop pour moi, mais à petit niveau on a discuté sur le site de Pierre, donc j'ai un peu regardé de quoi on parle
-je vais te donner les numéros complémentaires et cela devrait t'aider:
donc en passant par j'enlève les échecs
1 - [ (1/2)^4 + 2(1/2)^6 + 6(1/2)^8 + 11 (1/2)^10+ …]
c'est ça qui pour le moment donne 0,872

[GaBuZoMeu]

Beagle : j'estime que sur un forum de mathématiques, la plus grande politesse envers les autres participants est d'essayer d'expliquer clairement ce qu'on avance au cours d'une discussion.
Je constate que tu t'y refuses, malgré mes demandes réitérées et sincères d'explication.

[lyceen95]

Imaginons qu'à un moment donné, Charles ait 24 jetons. La probabilité qu'il ait 25 jetons un peu plus tard est l'expression donné par Beagle :
1/2 + (1/2)^3 + 2(1/2)^5 + 4(1/2)^7 + 10(1/2)^7 + 20(1/2)^9 + k(1/2)^11 + i(1/2)13 + ...

Proba qu'il ait 25 jetons au tirage suivant : 1/2
Proba qu'il ait 25 jetons après 3 tirages : (1/2)^3 , le seul chemin qui convient est -++
Proba qu'il ait 25 jetons après 5 tirages : (1/2)^5 , les seuls chemins qui conviennent sont --+++ et -+-++
Proba qu'il ait 25 jetons après 7 tirages : (1/2)^7 , les seuls chemins qui conviennent sont ---++++ , --+-+++ , --++-++ et -+-+-++ .

Mais, si c'est ça le cheminement, ça ne nous mène nulle part.
En effet, ce calcul pourrait tout aussi bien nous servir à dire que Charles perd dans environ 80% des cas.
Cette formule sert à calculer la probilité d'obtenir 25 jetons quand Charles a déjà 24 jetons. Mais cette formule donne aussi la probabilité d'arriver à 0 jetons quand Charles n'a plus qu'1 jeton.

[GaBuZoMeu]

Lycéen95 : tu as pu voir dans la page que j'ai mise en lien une manière de mener le calcul de la limite des puissances de la matrice de transition.
J'avais utilisé une autre méthode en lien avec la notion de projecteur spectral que j'avais évoquée dans un autre fil sur les matrices.
Je calcule le projecteur spectral pour la matrice de transition associé à la valeur propre 1 (correspondant aux états absorbants de la chaîne de Markov : sortie à 25 et sotie à 0). Ensuite j'applique ce projecteur spectral au vecteur correspondant à l'état initial (20 jetons). La décomposition du résultat sur les états absorbants donne les probabilité d'atteinte de ces états à partir de l'état initial.

Voici le code en SageMath, la syntaxe est essentiellement celle de python et tu ne devrais pas avoir de peine à lire.

Code: Tout sélectionner

# Définition de la matrice de transition
M=matrix(QQ,26,26)
M[0,0]=1
M[25,25]=1
for i in range(24) :
    M[i,i+1]=1/2
    M[i+2,i+1]=1/2

# Calcul du projecteur spectral associé à la v.p. 1
A.<x>=PolynomialRing(QQ,'x')
P=M.minimal_polynomial()/(x-1)
Proj=(1/P(1))*P(M)

# Calcul des probabilités d'arrivée aux états absorbants
Initial=vector(QQ,26)
Initial[20]=1
Final=Proj*Initial
print "Probabilité d'arriver à 25 jetons :", Final[25]
print "Probabilité d'arriver à 0 jeton :", Final[0]

La sortie :

Code: Tout sélectionner

Probabilité d'arriver à 25 jetons : 4/5
Probabilité d'arriver à 0 jeton : 1/5


PS. Je viens de voir ton message d'interprétation du calcul de Beagle. Une toute petite modification de la dernière partie du code ci-dessus :

Code: Tout sélectionner

# Calcul des probabilités d'arrivée aux états absorbants
# en partant de 24 jetons
Initial=vector(QQ,26)
Initial[24]=1
Final=Proj*Initial
print "Probabilité d'arriver à 25 jetons en partant de 24 :", Final[25]
print "Probabilité d'arriver à 0 jeton en partant de 24 : ", Final[0]

donne :

Code: Tout sélectionner

Probabilité d'arriver à 25 jetons en partant de 24 : 24/25
Probabilité d'arriver à 0 jeton en partant de 24 :  1/25


[beagle2]

Beagle : j'estime que sur un forum de mathématiques, la plus grande politesse envers les autres participants est d'essayer d'expliquer clairement ce qu'on avance au cours d'une discussion.
Je constate que tu t'y refuses, malgré mes demandes réitérées et sincères d'explication.

GaBuZoMeu, hier soir ton exo m'a interessé.
Je pensais que c'était pas pour moi, j'ai quand meme réfléchi avec ce que j'avais,
et j'ai tenté un truc
et si je pouvais dire, et si je pouvais faire comme ceci.
Voilà, j'ai pas envie de m'en prendre plein la tronche si c'est faux.
Donc je ne me fais pas désirer, je vais pousser les series un peu plus loin pour voir.
Au maximum c'est cohérent sur le plan théorique,
au minimum c'est un estimateur pas ridicule.
Je ne sais pas s'il est biaisé, pour le moment cela semble assez symétrique autour des 0,8 mais possible que cela soit en surestimant ou sousestimant ceci cela.

Maintenant sur maths forum d'il ya qqs années avec Ben314 et LeJeu je n'avais aucune appréhension à balancer des trucs,
cela a commencé à merdouiller avec Dom = Dominique qui lançait de beaux problèmes, et à chaque fois que j'avançais un truc je me faisais dézingué, reviens nous voir quand ce sera plus avancé. cela s'est terminé sur les problèmes de Dominique par un va de faire …
Et ensuite est arrivé sur maths forum la période Blackmaths de l'ultramaths, où je devais justifier sur l'arbre de proba que la proba d'un chemin était la multiplication des probas des branches.
Ensuite il ya eu toi, et tes "c'est pas des maths" ben cela fait ceci aujourd'hui.
J'ai fait hier un essai, et c'est pas des maths.
Allez à plus!

[GaBuZoMeu]

Pourrais-tu dire si l'interprétation faite par Lycéen95 de ton calcul est la bonne : à savoir que tu calcules la probabilité, partant de 24 jetons d'arriver à 25 en une étape, trois étapes, cinq étapes etc ? Dans ce cas, la série devrait converger vers 24/25. À condition de bien prendre en compte le fait que le niveau 0 jeton signifie la mort, ce qui commence à devoir être pris en compte à partir du moment où on calcule la probabilité d'arriver à 25 en 49 étapes ou plus.

Pourrais-tu aussi expliquer ce que tu fais quand tu comptes

1 - [ (1/2)^4 + 2(1/2)^6 + 6(1/2)^8 + 11 (1/2)^10+ …]

Merci.

[GaBuZoMeu]

Bon, j'ai déjà une réponse à la première question : l'interprétation de lycéen95 n'est forcément pas la bonne. Le nombre de chemins partant du niveau 0 et arrivant au niveau 1 pour la première fois en 2k+1 étapes est le nombre de Catalan ; on peut voir à ce sujet la page wikipedia sur les nombres de Catalan. Or les nombres de Catalan sont 1,1,2,5,14,42,... Ça ne va pas à partir de (longueur 7). Lycéen95 a oublié dans son décompte -+--+++.

Le mystère reste donc entier sur ce que calcule Beagle.

[lyceen95]

La difficulté si on raisonne par 'estimation', c'est que les résultats obtenus après 20 , 40, 60 ou même 100 tirages sont biaisés. Après 100 tirages, Charles va gagner dans 70% des cas, il va perdre dans 10% des cas, et la partie ne sera pas terminée dans 20% des cas (je donne des pourcentages très approximatifs, je n'ai pas les chiffres sous les yeux). On peut être tenté de dire que Charles gagne 7 fois plus souvent qu'il ne perd.
Mais en fait, dans les 20% restants, la situation va s'équilibrer, la moitié seulement de ces cas va conduire à une victoire de Charles. Et on va arriver aux 80% de victoire pour 20% de défaite.

[GaBuZoMeu]

(je donne des pourcentages très approximatifs

Il m'est facile d'être précis en utilisant le code déjà écrit :

Code: Tout sélectionner

Initial=vector(QQ,26)
Initial[20]=1
Auboutde100=M^100*Initial
print\
"Probabilité d'être arrivé à 25 jetons au bout de 100 tirages :\n",\
Auboutde100[25].n(12)
print\
"Probabilité d'être arrivé à 0 jeton au bout de 100 tirages :\n",\
Auboutde100[0].n(12)

Réponse :

Code: Tout sélectionner

Probabilité d'être arrivé à 25 jetons au bout de 100 tirages :
0.617
Probabilité d'être arrivé à 0 jeton au bout de 100 tirages :
0.0434


À part ça, lycéen95, aucun commentaire sur mon message précédent ?

[lyceen95]

A propos du code SageMath ... C'est effectivement lisible au début, mais je décroche très vite.

Code: Tout sélectionner

# Calcul du projecteur spectral associé à la v.p. 1
A.<x>=PolynomialRing(QQ,'x')
P=M.minimal_polynomial()/(x-1)
Proj=(1/P(1))*P(M)


Je ne comprend ni le commentaire, ni le code, même en regardant la doc deSageMath. Mais peu importe, Sagemath est certainement un outil très bien ( un code si concis pour traiter ce problème, c'est impressionnant) mais je n'ai pas l'intention de m'y mettre.

A propos des nombres de Catalan, 2 options : soit Beagle a fait le même oubli que moi, soit il a autre chose en tête. C'est Beagle qui saura nous expliquer.

[GaBuZoMeu]

La première ligne définit l'anneau des polynômes à coefficients rationnels en la variable x avec lequel on va travailler.
La deuxième calcule P, le polynôme minimal de la matrice M divisé par x-1 .
La troisième ligne évalue le polynôme P/P(1) sur la matrice M. La théorie nous dit que la matrice Proj obtenue est le projecteur spectral pour M associé à la valeur propre 1.