Martingale de l'excédent

[beagle]

"Bon, ça fait un bout de temps que je monopolise ce fil lancé par beagle (qui en est d'ailleurs devenu complètement muet)."

je viens te faire un petit coucou,
ben bravo l'accueil!

[beagle]

Bon ben désolé je remets le message de GBZM:
"Je suis incorrigible, je reviens tout de même pour poser un petit exercice, en plein dans le sujet du fil.

Charles est un fan de la martingale de l'excédent. Il vient jouer à pile ou face, avec une règle très simple et très honnête : le joueur mise un jeton sur pile ou sur face. Si le tirage lui est favorable, la banque lui rend son jeton de mise plus un autre jeton. Si le tirage lui est défavorable, la banque garde sa mise.

Charles a 20 jetons. Charles attend, il observe un certain nombre de tirages et note les résultats jusqu'à ce qu'il constate que face est en avance de 5. Il se met alors à miser constamment un jeton sur pile, jusqu'à ce qu'il arrive à 25 jetons, l'objectif qu'il s'est fixé ; il sortira alors du jeu avec un gain de 5 jetons. Bien entendu, il peut aussi lui arriver de perdre tous ses jetons avant d'arriver à 25, auquel cas il devra sortir du jeu (la banque ne fait pas crédit) avec une perte de 20 jetons.

Quelle est l'espérance de gain de Charles ?"

[GaBuZoMeu]

Je t'indiquerai la valeur à trouver si tu m'expliques le sens de ton second degré. D'accord ?

[beagle]

Salut beagle, content de te réentendre,
non ça c'est trop élevé c'est moins que ça

Salut beagle, sympa de revenir dans le fil,
ou la , non il t'en manque

[GaBuZoMeu]

Meilleurs voeux de bonne année, beagle.

Tu dis que tu trouves une espérance de gain de 0,724, c'est bien ça ?
Tu as un argument ou une simulation pour dire ça, ou c'est juste au pif ?

[beagle]

Bonne année à toi aussi GaBuZoMeu,

j'ai tenté un truc,
je sais pas si c'est légitime,
et je n'ai pas vérifié en plus que si légitime c'était vraiment les bons chiffres = j'ai pas compté avec sureté
alors j'ai mis des chiffres que j'aurais bien aimé que cela marche comme ça,
je suis un peu fatigué, donc voilà …

et le second degré avec martingale c'est la succession des facteurs et des exposants,
faut pas trop chercher non plus.

[GaBuZoMeu]

Tu es bien mystérieux sur le calcul que tu as tenté. En tout cas, ce n'est pas ça. La réponse est beaucoup plus simple.

[beagle]

ok je tente le sens inverse pour voir

ah oui, marche pas bien mes réglages
je suis à 0,917 maintenant avec le complémentaire,
ou la!

[GaBuZoMeu]

Tu ne veux toujours pas expliquer ce que tu calcules ?

[beagle]

Tu ne veux toujours pas expliquer ce que tu calcules ?

bah faudrait que je me pose et que je compte ça sérieusement,
j'étais dans un arbre de proba
il me manque des branches

j'ai pas le temps, je décroche de toutes façons

donc entre 0,72 et 0,91 pas mieux JeanPierre
je demande le 50 - 50

[GaBuZoMeu]

La bonne réponse est très morale, en fait.

[lyceen95]

Désolé de m'immiscer dans vos broutilles de vieux couple, mais comme Beagle est sorti, je vais glisser un mot :
le jeu est parfaitement équilibré.

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est bien pour cette raison que je parlais de solution morale. Mais ... sais-tu transformer cette morale en argument mathématique. ? Autrement dit, as-tu une démonstration mathématique simple ? Je me doute qu'il y a une telle démonstration, mais la démonstration dont je dispose utilise de la grosse artillerie. Je la donnerai d'ici quelque temps, mais j'espère en voir une plus limpide.

[lyceen95]

Non... juste un parcours exhaustif de l'arbre des probabilités.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas très bien. De quel arbre parles-tu ? L'arbre de probabilités que je verrais est infini : le jeu peut durer aussi longtemps qu'on veut avec le nombre de jetons restant strictement positif et strictement plus petit que 25. J'ai du mal à voir comment en faire un parcours exhaustif. Peux-tu être plus précis ?
La démonstration que j'ai passe par les chaînes de Markov absorbantes ; il s'agit en fait ici d'une très classique marche de l'ivrogne : quelle probabilité a-t-il de finir au bar ou de finir dans son lit ?
Voir par exemple
https://www.idpoisson.fr/berglund/probamass_html/node18.html

[beagle2]

J'avais mal élagué,
donc je suis à 0,738 mais cela continue derriere* , cela ne devrait plus monter bien haut
donc les 0,75 qui seraient bon pour mon moral?

j'ai juste une addition de 5 facteurs
avec 7 ou 8 ou 9 je serai meilleur
enfin s'il faut atteindre 75%

[lyceen95]

Je dis exhaustif, mais en réalité, je me suis limité à 10000 lancers. Effectivement, on n'a toujours pas la certitude d'avoir une des 2 issues au bout de 10000 lancers. Mais la probabilité est extrèmement faible. Et au pire, on peut considérer que dans ce cas l'issue sera à 50% victoire et à 50% défaite.

Quand je dis que je parcours tout l'arbre, je fais en fait :

Si P(n,k) est la probabilité que Charles ait n jetons après k tirages :
P(n,k+1) = ( P(n-1,k) + P(n+1,k) ) /2
sauf pour le traitement des 2 sorties possibles :
P( 1,k+1) = P(2,k) /2
P(24,k+1) = P(23,k) /2
et P(0,k+1) = P(0,k) + P(1,k)/2
P(25,k+1) = P(25,k) + P(24,k)/2

Je n'ai donc pas besoin de regarder une à une les 2^k branches de l'arbre après k tirages.

C'est une approche d'informaticien, pas de matheux.

[beagle2]

bon alors si c'est 0,75
on a peut etre le droit de faire:

1/2 + (1/2)^3 + 2(1/2)^5 + 4(1/2)^7 + 10(1/2)^9+ ...

[GaBuZoMeu]

Lycéen95 : ce que tu fais, c'est de calculer les puissances d'une matrice de transition de chaîne de Markov (si, si !). Tu t'arrêtes à la puissance 10 000.
Le matheux sait calculer de manière exacte la limite des puissances quand l'exposant tend vers l'infini. C'est exactement ce qui est fait dans la page sur les chaînes de Markov absorbantes que j'ai mise en lien plus haut. Tu devrais regarder cette page.

Beagle : je ne comprends rien de rien à ce que tu fabriques. Pour commencer, je ne comprends pas pourquoi tu formules ton résultat sous la forme 75%. Pourcentage de quoi ?
Le gain (ou la perte), c'est un nombre de jetons. L'espérance du gain (une moyenne pondérée du gain ou de la perte), c'est encore un nombre de jetons. Tu penses que l'espérance de gain est de 0,75 jeton ?

L'espérance de gain est NULLE : Charles a 4 chances sur 5 de sortir du jeu avec 25 jetons, 1 chance sur 5 d'en sortir avec 0 jeton. Encore faut-il justifier ces 4 chances sur 5 et une chance sur 5.

[lyceen95]

Oui, je me doutais bien que mon approche ou les chaines de Markov, c'était la même chose.