Les tiroirs sont-ils assez grands ?
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Arbre
par Arbre » 13 Jan 2017, 17:51
Bonjour,
Je suis le conseil de Ben et ouvre 3 conversations une pour chaque énigme :
énoncé 5 : les tiroirs sont-ils assez grands ?Soit
une suite d'entiers naturels non nul, majorée, tel que
A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite,
?
Bonne journée.
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L.A.
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par L.A. » 13 Jan 2017, 19:33
Bonjour,
Supposons qu'une telle suite n'a pas de point fixe, alors au début on aura
jusqu'à un premier rang
où
, car la suite est majorée. On a donc
ce qui entraîne
.
Or il n'existe aucun nombre entier compris entre n strictement et n+1/3, contradiction.
EDIT : désolé pour le spoil, je ne trouve pas le moyen de cacher les parties en tex...
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Arbre
par Arbre » 13 Jan 2017, 19:53
Bonsoir,
Cela doit être tout con, mais je ne vois pas pourquoi :
Bonne soirée.
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L.A.
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par L.A. » 13 Jan 2017, 19:57
On a
donc
.
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Arbre
par Arbre » 13 Jan 2017, 20:39
Ok.
Et enfin pour ces 2 inégalités :
L.A. a écrit:
Comment les obtiens-tu ?
Merci et désolé pour ma lenteur d'esprit.
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L.A.
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par L.A. » 13 Jan 2017, 21:19
A partir de
tu obtiens
puis
(car
entaîne
).
Enfin
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Ben314
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par Ben314 » 13 Jan 2017, 21:23
Perso, j'aurais pas procédé par l'absurde (je sais pas qui se rappelle de Léon...),
mais ça ne change strictement rien aux calculs.
Comme
et que la suite
est majorée, c'est que
est non vide et majoré donc admet un plus grand élément
.
On a donc
et
c'est à dire en fait
et on en déduit que
c'est à dire
donc
.
Modifié en dernier par
Ben314 le 14 Jan 2017, 05:20, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Arbre
par Arbre » 13 Jan 2017, 22:29
Par politesse je donne l'astuce de ma preuve : j'ai utilisé le théorème de point fixe de Picard.
Bonne soirée.
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