Principe des tiroirs

[nodgim]

euh maintenant l'exercice 4, on peut m'expliquer? j'ai passé 30 minutes dessus mais je n'arrive pas à avancer

Salut à toi,
Applique la politique du pire: comment éviter les 23 jours ?

[nodgim]

Salut à toi,
Applique la politique du pire: comment éviter les 23 jours ?

Ou plutôt qu'est ce qui peut t'empêcher d'atteindre 23 ?

[guigui51250]

bah le mieux c'est d'en faire 10 par semaine pendant 2 semaines, on arrive à 20 parties en 14 jours.
ah je pense avoir trouvé quelque chose ^^ on peut faire un maximum 10/7 parties par jour donc 10x/7 par x jour. On veux faire 3 parties le plus vite possible donc 10x/7=3 donc x=[21/10]=3

il faut donc 17 jours pour faire 23 parties??

[nodgim]

bah le mieux c'est d'en faire 10 par semaine pendant 2 semaines, on arrive à 20 parties en 14 jours.
ah je pense avoir trouvé quelque chose ^^ on peut faire un maximum 10/7 parties par jour donc 10x/7 par x jour. On veux faire 3 parties le plus vite possible donc 10x/7=3 donc x=[21/10]=3

il faut donc 17 jours pour faire 23 parties??

Quand tu vas compter à partir du 1er jour et jusqu'au énième jour, qu'est ce qui peut t'empêcher d'arriver à 23 ?
Je compte: 1,2,4,5,7,8,...?

[guigui51250]

euh là je ne comprend pas...

[nodgim]

euh là je ne comprend pas...

Ce qui peut t'empêcher d'arriver à 23, c'est de passer de 22 à ..24.

[lapras]

salut
ce probleme est le moins évident de tous.
Voici une méthode :
note x_n le nombre de parties jouées jusqu'au n-ieme jour.
Il faut prouver qu'il existe i et j tels que
x_i - x_j = 23
soit
x_i = x_j+23
Maintenant, passage plus délicat, tu vas considérer la suite a_i = x_i
et la suite b_i = x_i + 23
ces deux suites sont tes objets...
utilise les hypotheses des l'énoncé pour applique des inégalités sur les a_i et b_i.

[guigui51250]

alors je trouve


car

[lapras]

tu as inversé le sens de l'inégalité.
Maintenant écrit explicitement :
1 <= a_1 < a_2 < ...... < a_n < [10n]/7
fais de meme pour b_i
et compte le nombre total d'objet (a_i et b_i)

[guigui51250]

tu as inversé le sens de l'inégalité.

oups oui ^^ désolé j'avais pas remarqué

alors pour :



pour les j'ai objets ( il y a de 1 à n puis les 2 nombres en bout d'inégalité)
pour les pareil donc au total objet??

[lapras]

les objets sont les a_i et b_i
soit n + n = 2n objets en tout !
maintenant regarde dans combien de boites au plus sont rangés ces 2n objets ?

[guigui51250]

ok,

ces 2n objets sont rangé dans [10n/7]-1 tiroirs

[lapras]

les a_i et b_i sont < [10n/7]+23
donc 2n objets dans au maximum [10n/7]+23 objets
maintenant applique le principe des tiroirs !

[guigui51250]

les a_i et b_i sont < [10n/7]+23
donc 2n objets dans au maximum [10n/7]+23 objets
maintenant applique le principe des tiroirs !

ok,

car est entier


je ne sais pas trop si je peux sortir comme ça le 1 ou le n des [] mais je pense que si ^^

[lapras]

Attention aux parties entieres, tu n'as pas le droit de sortir le n des [ ]
mais tu peux juste dire que pour n assez grand 2n > [10n/7] + 23
(évident).
principe des tiroirs => ...

[guigui51250]

là je ne vois pas trop, je dois résoudre ça :

, tu viens de me dire que pour assez grand, donc

[lapras]

ce qui est important c'est que 10/7 < 2
or par def :
[x] <= x
[10n/7]+23<= 10/7 n + 23 < 2n (si n grand)

[guigui51250]

[quote="lapras"]10/7 n + 23 40 donc ça ferait 40 jours...

[guigui51250]

Bon là je suis un peu perdu, je récapitule tout ce qu'on à fait :

Soit le nombre de parties jouées au n-ième jour.
Il faut pourver qu'il existe et tel que donc
Soit et

( [] partie entière supérieure)


Il y a donc tiroirs et objets

principe des tiroirs :

et là je bloque, je n'arrive pas à calculer ça

:mur: :mur:

[lapras]

Ne te complique pas la vie !
Tu as 2n a_i et b_i entre 1 et [10n/7]+23.
Tes tiroirs sont les entiers de 1 à [10n/7]+23. (donc [10n/7]+23 tiroirs)
Mais on voit bien que pour n assez grand 2n > 10n/7 + 23 >= [10n/7]+23
donc tu as 2n objets dans strictement moins de 2n tiroirs...
donc il existe un a_i et un b_i dans le meme tiroir (c a d égal au meme entier)
donc a_i=b_i d'où le résultat.