Les tiroirs sont-ils assez grands ?

[Arbre]

Bonjour,

Je suis le conseil de Ben et ouvre 3 conversations une pour chaque énigme :

énoncé 5 : les tiroirs sont-ils assez grands ?
Soit une suite d'entiers naturels non nul, majorée, tel que


A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite, ?

Bonne journée.

[L.A.]

Bonjour,

Supposons qu'une telle suite n'a pas de point fixe, alors au début on aura jusqu'à un premier rang où , car la suite est majorée. On a donc



ce qui entraîne .

Or il n'existe aucun nombre entier compris entre n strictement et n+1/3, contradiction.

EDIT : désolé pour le spoil, je ne trouve pas le moyen de cacher les parties en tex...

[Arbre]

Bonsoir,

Cela doit être tout con, mais je ne vois pas pourquoi :


Bonne soirée.

[L.A.]

On a donc .

[Arbre]

Ok.
Et enfin pour ces 2 inégalités :

Comment les obtiens-tu ?
Merci et désolé pour ma lenteur d'esprit.

[L.A.]

A partir de tu obtiens puis
(car entaîne ).

Enfin

[Ben314]

Perso, j'aurais pas procédé par l'absurde (je sais pas qui se rappelle de Léon...), mais ça ne change strictement rien aux calculs.
Comme et que la suite est majorée, c'est que est non vide et majoré donc admet un plus grand élément .

On a donc et c'est à dire en fait et on en déduit que


c'est à dire donc .

[Arbre]

Par politesse je donne l'astuce de ma preuve : j'ai utilisé le théorème de point fixe de Picard.

Bonne soirée.