Cela fait un petit moment que je n'ai pas proposé d'inégalités, donc c'est le temps de le faire !
Soit
Bonne chance !
[ IMO 2008 - Problem 2 ] Inégalité
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[ IMO 2008 - Problem 2 ] Inégalité
par Olympus » 22 Mai 2010, 20:51
Bonsoir !
Cela fait un petit moment que je n'ai pas proposé d'inégalités, donc c'est le temps de le faire !
Soit \in \left( \mathbb{R} \setminus {1} \right)^3 \ / \ xyz=1)
. Montrer que :
^2 + \left( \frac{y}{y-1} \right)^2 + \left( \frac{z}{z-1} \right)^2 \geq 1)
Bonne chance !
Cela fait un petit moment que je n'ai pas proposé d'inégalités, donc c'est le temps de le faire !
Soit
Bonne chance !
par Olympus » 22 Mai 2010, 21:38
Bon la voici ^^
donc il existe des réels 
tels que  = \left( \frac{a}{b} ; \frac{b}{c} ; \frac{c}{a} \right))
.
On peut aussi supposer, par symétrie des rôles, que
.
L'inégalité de départ est équivalente à :
^2 \geq 1)
^2\left(c-a\right)^2 \geq \left(a-b\right)^2 \left(b-c\right)^2 \left( c-a \right)^2)
 \left( a-c \right) \left( ab - bc \right)^2 \geq 0)
Ce qui est trivial puisque a >= b >= c .
On peut aussi supposer, par symétrie des rôles, que
L'inégalité de départ est équivalente à :
Ce qui est trivial puisque a >= b >= c .
par Zweig » 22 Mai 2010, 21:50
Joli aussi ! N'empêche, ça prendrai autant sinon plus de lignes que la tienne pour justifier ;-) !
par benekire2 » 22 Mai 2010, 23:38
une question Zweig, l'idée t'es venue comment ? Tu t'es dit que t'allais tout foutre au même dénominateur et que t'allais de démerder pour faire apparaître un carré au numérateur ? Ou alors il y a quelque chose d'autre derrière ?
par Ben314 » 23 Mai 2010, 00:02
Il y a un théorème qui dit que tout polynôme symétrique (i.e. qui ne change pas lorsque tu échange les rôles des variables) peut s'exprimer à l'aide de polynômes symétriques dit "élémentaires".
Dans le cas de 3 variables x,y,z, les polynômes symétriques élémentaires sont S1=x+y+z, S2=xy+yz+zx et S3=xyz.
Le fameux théorème a même le bon gout d'être "algorithmique", c'est à dire de donner une méthode systématique d'écriture du polynôme symétrique en fonction des élémentaires.
Ici, c'est une simple application de ce résultat : une fois réduit au même dénominateur, le numérateur de x²/(x-1)²+y²/(y-1)²+z²/(z-1)² est symétrique donc s'exprime en fonction de S1=x+y+z, S2=xy+yz+zx et S3=xyz. Comme l'information que l'on a est (comme par hasard) S1=1, cela permet d'exprimer le numérateur en fonction de S2 et S3.
Si tu veut aller plus vite, tu peut aussi "inverser" le problème en posant :
)
, )
, )
.
L'hypothèse est alors(v-1)(w-1))
, c'est à dire 
et on a ^2-2(uv+vw+wu)=S_1^2-2S_2=S_1^2-2S_1+2=(S_1-1)^2+1\geq 1)
Dans le cas de 3 variables x,y,z, les polynômes symétriques élémentaires sont S1=x+y+z, S2=xy+yz+zx et S3=xyz.
Le fameux théorème a même le bon gout d'être "algorithmique", c'est à dire de donner une méthode systématique d'écriture du polynôme symétrique en fonction des élémentaires.
Ici, c'est une simple application de ce résultat : une fois réduit au même dénominateur, le numérateur de x²/(x-1)²+y²/(y-1)²+z²/(z-1)² est symétrique donc s'exprime en fonction de S1=x+y+z, S2=xy+yz+zx et S3=xyz. Comme l'information que l'on a est (comme par hasard) S1=1, cela permet d'exprimer le numérateur en fonction de S2 et S3.
Si tu veut aller plus vite, tu peut aussi "inverser" le problème en posant :
L'hypothèse est alors
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 23 Mai 2010, 08:51
ok ! Je me disais qu'il devait y avoir une théorie ( ou un théorème ) derrière tout ça !! Merci beaucoup Ben !
par poiuytreza » 23 Mai 2010, 10:06
C'est ça le problème aujourd'hui avec les inégalités : elles sont toutes torchables avec des méthodes bourrins, donc ça n'a plus trop d'intérêt...
D'ailleurs, je n'ai jamais compris comment un exo pareil avait pu tomber aux IMO...
D'ailleurs, je n'ai jamais compris comment un exo pareil avait pu tomber aux IMO...
par Olympus » 23 Mai 2010, 12:46
Moi j'ai fait beaucoup plus aléatoire que Zweig ... J'ai juste utilisé la méthode de Doraki : homogénéisé ( d'où le changement de variables ), cherché où est-ce que ma nouvelle inégalité ( celle avec les a; b et c et pas celle du début ) s'annule . J'ai alors trouvé qu'elle s'annule si ab=bc=ca , donc j'ai essayé de réécrire tout en fonction de (ab-bc)² .
On peut tout aussi trouver une autre réécriture en fonction du même carré, et appliquer le théorème SOS .
@poiuytreza : ce genre de techniques n'est généralement appliquable que si on connait le cas d'égalité . Des inégalités comme celle-ci sont très difficiles à torcher vu le cas d'égalité bizarre ( égalité si a=b=c certes, mais l'égalité a aussi lieu quand = \left( \sin ^2 \left( \frac{4\pi}{7} \right) ; \sin^2 \left( \frac{2\pi}{7} \right); \sin^2 \left( \frac{\pi}{7} \right) \right))
: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=6026 .
@Ben314 : intéressante, je ne connaissais pas la technique
On peut tout aussi trouver une autre réécriture en fonction du même carré, et appliquer le théorème SOS .
@poiuytreza : ce genre de techniques n'est généralement appliquable que si on connait le cas d'égalité . Des inégalités comme celle-ci sont très difficiles à torcher vu le cas d'égalité bizarre ( égalité si a=b=c certes, mais l'égalité a aussi lieu quand
@Ben314 : intéressante, je ne connaissais pas la technique
par poiuytreza » 23 Mai 2010, 13:42
Je parle pas de cette technique en particulier, c'est juste un constat général. (sur Mathlinks, ils ont des trucs bien pire que ça...)
A mon avis, un problème qui peut être résolu par une "méthode standard" sans la moindre réflexion comme celui-ci (un ordinateur est d'ailleurs largement plus efficace qu'un humain pour ce genre de trucs) n'a pas sa place aux IMO. Et encore, la question b était pire...
D'ailleurs, ton histoire de cas d'égalité est un peu douteuse parce que si ab=bc=ca, alors a=b=c, soit x=y=z=1, alors que l'énoncé suppose le contraire. De plus, ce n'est pas le seul cas d'égalité, comme le montre la factorisation donnée par Zweig.
A mon avis, un problème qui peut être résolu par une "méthode standard" sans la moindre réflexion comme celui-ci (un ordinateur est d'ailleurs largement plus efficace qu'un humain pour ce genre de trucs) n'a pas sa place aux IMO. Et encore, la question b était pire...
D'ailleurs, ton histoire de cas d'égalité est un peu douteuse parce que si ab=bc=ca, alors a=b=c, soit x=y=z=1, alors que l'énoncé suppose le contraire. De plus, ce n'est pas le seul cas d'égalité, comme le montre la factorisation donnée par Zweig.
par Olympus » 23 Mai 2010, 13:49
La deuxième inégalité ( après avoir enlevé le dénominateur ) ne dépend pas des conditions initiales, d'où la différence en ce qui concerne les cas d'égalité ;-)
Sinon ouép, d'accord avec toi que cette inégalité n'a pas sa place aux OIM .
Sinon ouép, d'accord avec toi que cette inégalité n'a pas sa place aux OIM .
par Ben314 » 24 Mai 2010, 12:56
Un polynôme en trois variables P(x,y,z) est dit "symétrique" lorsque :Titux a écrit:Qu'entend-on par "rôle des variables"; ben ?
P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=P(y,z,x)=P(z,x,y)=P(z,y,x).
Dans ce cas, il existe un unique polynôme Q en 3 variables tel que
P(x,y,z) = Q( x+y+z , xy+yz+zx , xyz )
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Anonyme » 24 Mai 2010, 13:04
Ben314 a écrit:Un polynôme en trois variables P(x,y,z) est dit "symétrique" lorsque :
P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=P(y,z,x)=P(z,x,y)=P(z,y,x).
Dans ce cas, il existe un unique polynôme Q en 3 variables tel que
P(x,y,z) = Q( x+y+z , xy+yz+zx , xyz )
D'accord
Merci de l'explication !
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