Olympiades Académiques 2008

par **lapras** » 13 Mar 2008, 22:29

Ok je détaille
Soit ABC un triangle tel que les médianes, hauteurs, bissectrices, médiatrices partagent l'angle BAC en 4 angles apha égaux.
Soit O le centre du cercle circonscrit a ABC
M le pied de la médiane issue de A
On suppose M différent de O
Soit A' l'intersection de (AO) avec le cercle C circonscrit a ABC
A" le point d'intersection de la hauteur issue de A avec C
alors
(A'A") // (BC)
(car AA'A" rectangle)
donc l'arc (BA") est égal a l'arc (CA')
donc
l'angle CAA' = angle BAA" = alpha
or
angle MAC = alpha
donc angle MAC = angle OAC
ce qui est bien entendu impossible car l'angle (OAC) est "compris" dans l'angle MAC
donc
contradiction
M = O
donc ABC rectangle (car le centre du cercle circonscrit est le milieu de [BC])

par **Zweig** » 13 Mar 2008, 23:40

J'ai lu en diagonale ta démo', la conclusion est bonne ... Maintenant, si je te demande de me donner les angles A et B ? :we:

par **lapras** » 14 Mar 2008, 00:02

Tu veux dire l'angle alpha ?
alpha = pi/8

par **Zweig** » 14 Mar 2008, 00:44

Non non, les deux autres angles de ABC.

par **lapras** » 14 Mar 2008, 08:08

bah tu as une hauteur et un angle
donc tu peux calculer l'autre angle. (3pi/8) :happy2:

par **Imod** » 14 Mar 2008, 12:19

lapras a écrit:Ok je détaille ...

L'idée est bonne mais inutile de raisonner par l'absurde , les points A , O et M sont alignés et comme ABC n'est pas isocèle : O = M . Evidemment c'est plus facile à trouver quand on enlève la pendule et le stress :we:

Imod

par **lapras** » 14 Mar 2008, 19:38

Evidemment c'est plus facile à trouver quand on enlève la pendule et le stress

C'est sur !

par **MathMoiCa** » 14 Mar 2008, 22:37

Plop,

Tiens, c'est bizarre pour l'exo 1... 8 n'est pourtant pas un bon nombre ! J'ai regardé le début des éléments de réponse, pour voir si j'étais sur la bonne voie (et heureusement que ça n'affiche pas d'un coup toutes les solutions !), et je vois que pour 8 ils ont pris 2, 4 et 4, dont la somme n'est certainement pas 8...

M.

par **perplexe** » 16 Mar 2008, 07:14

Bonjour à tous . Vous avez l'air très calés et moi j'ai un sujet d'olympiades de l'académie de Dijon (2008) et je cherche des réponses ... Il semble que 2 des problèmes étaient communs dont les nombres "bons" ou "mauvais" . En toute modestie (et dans le temps imparti) je sais aller jusqu'à 2n+2 est bon si n est bon. Après ...

par **Imod** » 16 Mar 2008, 10:29

Pour la première question , seuls 4 , 9 et 10 sont bons ( calculs simples ) .
Pour la 2) on remarque que n²=n+n+...+n ( n fois ) et que 1/n+1/n+...+1/n=1 .
Pour la 3) si n est bon il s'écrit n=a1+a2+...+ak avec 1/a1+1/a2+...+1/ak=1 alors 2n+2=2a1+2a2+...+2ak+2 avec 1/(2a1)+1/(2a2)+...+1/(2ak)+1/2=1 et 2n+9=2a1+2a2+...+2ak+6+3 avec 1/(2a1)+1/(2a2)+...+1/(2ak)+1/6+1/3=1 .
Pour la 4) il suffit par l'absurde de supposer qu'il existe un plus petit entier mauvais supérieur à 55 pour aboutir à une contradiction en considérant (n-2)/2 ou (n-9)/2 selon la parité de n .

Imod

par **perplexe** » 16 Mar 2008, 22:22

Merci pour cette réponse rapide condensée et complète. Ma solution jusqu'à 2n + 2 est confirmée et je n'ai pas trop de regrets pour la suite car je n'avais pas en tête une approche par l'absurde.

Il y avait aussi un Sangaku . Là mon problème c'est la preuve pour le début ! Pour calculer l'aire du triangle j'ai tracé la tangente au cercle inscrit issue du coté AB (longueur 4) . Cette droite coupe l'hypothénuse du triangle en M et la perpendiculaire à AC passant par M est tracée. Le triangle est donc formé de deux triangles (égaux , mais là je ne sais pas comment le démontrer) et d'un rectangle. J'ai utiliser une proportionalité entre les côtés de ce triangle , semblable à celle entre les côtés issus de A du triangle rectangle initial (3/4) mais la preuve n'es pas très convaincante. Est-ce qu'au moins c'est la bonne approche ?

par **lapras** » 17 Mar 2008, 23:12

salut,
par curiosité, as tu réussi au moins un exercice académique ? (ou quelques questions ?)
Le 3) était franchement faisable.

par **perplexe** » 18 Mar 2008, 00:25

Vous semblez tous être de la région de Paris mais l'exo académique de Dijon "Sagaku" était intéressant et je n'ai pas trouvé de site comme celui signalé par Timothé pour Versailles.
Je vous le remets (sans le schéma)
On considère un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l'angle droit ont pour mesure respectives AB=4 et AC=3.
1 - Calculer le rayon r du cercle inscrit dans ce triangle.

2- Deux cercles de même rayon sont tangents à 2 côtés du triangle et tangents entre eux . (j'explique le schéma : les 2 cercles sont côte à côte sur le côté AB , l'un des cercles "fait le coin rectangle" et l'autre est dans l'angle aigu).
Calculer le rayon de ces cercles.

3 - (c'est moi qui résume la question) on élargit à n cercles.

Au cas où ça vous tente ...

par **MathMoiCa** » 18 Mar 2008, 01:12

Timothé C. a écrit:Bonsoir,
He bien en fait, 8 n'est pas un " bon " nombre: de 4 à 10, seulement 4, 9 et 10 le sont. Où ont-ils marqué que 8 est un bon nombre? :look2: Montre, montre :zen:

Ah vi, mais dans les éléments de correction, c'était bien mis :hein: z'ont ptet bien changé ^^

M.

par **lapras** » 18 Mar 2008, 08:28

Salut perplexe,
ton sujet n'est pas très compliqué, c'est surtout du calcul.
Je n'ai pas regardé pour la généralisation à n cercles, j'ai déja vu le cas n = 1 , 2 , 3
je vais y réfléchir quand j'aurai le temps.

par **Zweig** » 18 Mar 2008, 12:29

Ils sont à cours d'imagination dans l'académie de Montpellier ? :hein:

http://www.maths-express.com/forum/detail.php?forumid=25&id=46012&p=1

Question 2), c'est ni plus ni moins, à une formulation près, l'exercice n°2 de l'académie de Dijon en 2004 ...

par **lapras** » 18 Mar 2008, 20:36

salut,
peux tu me donner ton adresse email ?
je vais t'envoyer le PDF avec les solutions.

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