Groupes (encore !!!)

[Ben314]

S'il y a des fanas de groupes, une petite "amusette" sans prétentions :
(de nouveau tirée du Querré : maintenant que je l'ai retrouvé... :we:)

Montrer qu'un groupe est réunion de trois de ces sous groupes propre (i.e. distincts de ) si et seulement si il existe un morphisme surjectif de dans le groupe à quatre éléments (où )

[Nightmare]

Hello,

vague idée que je ne développe pas parce que pour le moment... je n'y arrive pas !

On considère le groupe intersection des trois sous-groupes. Pour avoir testé avec (F2)², je conjecture que ça forme un groupe distingué et on devrait pouvoir montrer que (F2)² est isomorphe au quotient de G par ce nouveau sous-groupe et conclure.

Maintenant que c'est dit, j'avouerai ne pas vraiment savoir si l'intersection est vraiment toujours distinguée ou non, je continue de chercher.

Edit : J'en profite pour te demander, aux vues des quelques énoncés postés de ce bouquin de J. Querré, il semble assez intéressant et j'aimerais bien l'acquérir. Problème, je ne le trouve nulle part sur internet (l'occurrence J. Querré ne semble pas donner grand chose et comme je connais pas le nom du bouquin...), est-il encore disponible ? Ne traite-t-il que d'algèbre? En particulier traite-t-il la théorie de Galois?

[beagle]

Bonsoir Night,
ce pourrait ètre ceci:
http://www.priceminister.com/offer/buy/341300/Querre-J-Cours-D-algebre-Livre.html

[Ben314]

Pour le problème, c'est bien ça l'objectif, mais il vaut mieux y aller "à petit pas" (i.e. avec des étapes)

Pour le Querré, sur internet, j'ai trouvé que ça (en rupture de stock il semblerait, mais faut dire qu'il est de 1976) :
http://www.amazon.com/Cours-dalgebre-Maitrise-mathematiques-French/dp/2225441871/ref=sr_1_1_title_0_main?s=books&ie=UTF8&qid=1291054224&sr=1-1
Mais, je pense qu'il est (en plusieurs exemplaires) dans la plupart des bibliothèque universitaires.
Je le trouve trés bien MAIS, il est archi bourré de fautes de frappes (en particulier dans les exercices...)
donc nécessite un minimum de recul pour trouver les erreurs.
La table des matières est :
I) Groupes (suites normales : Jordan-Hölder ; p-groupes : Sylow ; caractères ; groupes réticulés et continus)
II) Anneaux (Idéaux ; Divisibilité ; Anneaux Noethériens et Artiniens)
III) Corps (extentions ; corps des racines d'un polynôme (norme, trace, discriminant) ; corps fini ; théorie de Galois ; corps ordonnés)
IV) Modules (libres, Noethériens , artiniens ; modules sur un anneau principal ; catégorie et foncteurs ; produit tensoriel)
V) Entiers (anneaux intégralement clos ; Idéaux fractionnaires ; Anneaux complètement intégralement clos ; entiers algébriques ; théorème des zéros de Hilbert)

Bonsoir Night,
ce pourrait ètre ceci:
http://www.priceminister.com/offer/buy/341300/Querre-J-Cours-D-algebre-Livre.html

Oui, c'est bien celui là (le mien a plutot une couverture orange, mais je pense pas que ça influe beaucoup sur le contenu... :ptdr: )

[beagle]

Donc il y a une version d'occase à 30 euros Night, que je viens d'acheter,
la suivante est à 60 euros.
je te revends donc mon exemplaire 45 euros.
C'est des maths appliquées ça?

[Ben314]

Donc il y a une version d'occase à 30 euros Night, que je viens d'acheter,
la suivante est à 60 euros.
je te revends donc mon exemplaire 45 euros.
C'est des maths appliquées ça?

Bon je te le rachette à 45 (pour la vendre 55 à Nightmare : il économise encore 5 euros par rapport à celui qui reste qui est à 60... :zen: )
En plus celui qui reste c'est un "Article de collection" : tu as que la couverture avec du vide dedans... :marteau:

[Nightmare]

Bon, je sais que c'est pas bien, mais je viens de le trouver en djvu, même si j'aime bien avoir les bouquins en main, c'est toujours ça d'économisé.

Quitte à être un truand, autant l'être jusqu'au bout : Pour ceux qui veulent, vous pourrez le télécharger [url="http://kitab.yolasite.com/index/j-querre-cours-d-algebre"]ici[/url] (lien en dessous de la couverture du bouquin). Testé par avast sans virus

[ffpower]

Bon, pour en revenir a l'exo, parce que c'est pas serieux ces histoires de piratage ( mais merci Night^^ ) : j'appelle A, B et C les 3 sous groupes, K l'intersection. Alors si x est dans A et dans B, on prend y qui n'est ni dans A ni dans B (donc en particulier il est dans C ), alors xy est lui aussi ni dans A ni dans B donc dans C, et donc x est dans C. Ainsi, par symétrie cet argument montre que G se partionne en K, A'=A-K, B'=B-K, C'=C-K. Alors on vérifie assez trivialement que
-Si x,y sont dans K, xy est dans K ( bon celui là est vraiment trivial pour le coup )
-Si x est dans K et y dans A' (resp B',C') alors xy est dans A' (resp B', C')
-Si x est dans A' et y dans B', alors xy est dans C' ( resp bla bla )
Et dernier point un tout petit peu moins trivial: si x et y sont dans A', alors on prend z dans B', on a yz dans C' et donc xyz dans B', donc dans B et donc xy dans B. De même xy est dans C, et il est trivialement dans A, donc finalement xy est dans K
Ces propriétés permettent de définir un morphisme surjectif en envoyant K sur le neutre et A,B,C sur les 3 autres éléments.

Bon, démo a l'arrache j'avoue, ya probablement un argument qui résume l'idée en 2 lignes, mais flemme..

[Ben314]

:king2: C'est bien ça :king2:
En tout ca, perso, c'est la seule méthode que je connaisse.

Ah, si, au début, il manque un petit détail : il faut d'abord montrer qu'un groupe ne peut pas être réunion de deux de ces sous groupes propres pour être sûr que ton "y qui n'est ni dans A ni dans B" existe, mais c'est trés simple et du même accabit.