Géométrie - perpendiculaire

[Mhdi]

Salut,

Soit un triangle et le centre du cercle inscrit. La droite (resp. ) est tangente au cercle en (resp. ), et .
Montrer que

A+

[Imod]

Comme souvent en géométrie , il faut voir l'astuce :we:



Le cercle inscrit coupe [AB] en F alors en considérant les symétries d'axes (AI) et (BI) , on a . En particulier dans le quadrilatère AEGF les angles et sont supplémentaires donc AEGF est inscriptible dans un cercle . Ce cercle est le cercle de diamètre [AI] et AGI est un triangle rectangle en G :zen:

Imod

[Mhdi]

Salut Imod,

Pourrais-tu détailler les points suivants :

1. en considérant les symétries d'axes (AI) et (BI) , on a
2. Ce cercle est le cercle de diamètre [AI]

[lapras]

salut,
Imod a donné une démo, mais on doit se donner la peine de la "déchiffrer".
Voila les détails :
soit f la symétrie d'axe (BI)
f(G) = G car G appartient à (BI)
de même : f(B) = B
f(F) = D (évident car BID et BIF sont isométriques).
donc f(triangle BFG) = triangle BDG
donc angle BFG = angle BDG
CED est isocele en C(propriété de base)
d'où angle CDE = angle CED
d'où l'égalité des 3 angles rouges.
remarquons ensuite de AFI et AEI sont inscrits dans un cercle de diametre [AI] car ils sont respectivement rectangle en F et E.
donc ils sont F,A, I et E cocycliques sur cercle de diametre [AI]
comme G appartient à ce cercle, c'est fini !

[Imod]

Merci Lapras pour la traduction :we:

C'est vrai que j'ai une fâcheuse tendance à passer sous silence ce qui me semble évident mais les évidences des uns ne sont pas celles des autres :zen:

Imod

[Mhdi]

Merci lapras de ta réponse.
En ce qui concerne l'égalité des angles, j'ai demandé parce qu'Imod avait dit :"en considérant les symétries d'axes (AI) et (BI)".
Quant à la deuxième question, j'avais un doute sur le "G appartient à ce cercle".
Est-ce que FAEI et FAEG sont inscrits dans le même cercle(en règle générale)?