Géométrie : histoire de trajet minimum

[lapras]

Bonsoir, c'est un exercice de géométrie tres interessant, proposé à ce qu'il parait aux olympiades académiques (je ne sais pas l'année et l'académie)
Soit ABC un trigle quelconque
déterminer les points M, N et P respectivement sur les côtés [AB], [BC] , [AC] (sommets exclus)
tels que le périmètre de MNP soit minimum.

Bon courage ! :++:

[nodgim]

Le triangle le plus plat possible autour de la plus petite hauteur ? Donc, sa longueur tendrait vers deux fois la plus petite hauteur.

[nodgim]

Malheureusement, ça n'est pas aussi simple. :cry:
Un contre exemple: l'équilatéral, le plus court étant celui qui rejoint les médianes.

[nodgim]

La réponse donnée n'est pas fausse, mais vraie seulement pour les triangles avec un angle obtus; Pour les acutangles, il faut simplement joindre les projetés des hauteurs. :we:

[lapras]

salut,
J'attend une vraie démonstration, avec une preuve géométrique, qui soit généralisable à tous les triangles ;)

[Imod]

On peut généraliser le résultat donné par nodgim en prenant M , N , P sur (AB) , (BC) et (AC) à condition d'autoriser que les points M , N et P soient confondus avec les sommets du triangle ( sinon il ni a pas de minimum dans le cas obtusangle ) . La démonstration est très simple dans le cas où Â est obtus et pour un triangle acutangle il suffit de considèrer le symétrique de N par rapport à (AB) et (AC) et l'inégalité triangulaire .

Imod

[lapras]

Le problème c'est que je ne crois pas qu'on autorise M,N et P à se confondre avec A, B et C.
Bizarre...

[Imod]

Peut-être le triangle est-il supposé acutangle à priori ? Dans ce cas pas de problème !

Imod

[lapras]

Je pense en fait que le point M est fixé et qu'on doit trouver N et P

[Imod]

Je pense en fait que le point M est fixé et qu'on doit trouver N et P

Je te laisse regarder le dessin ci-dessous pour  aigu et imaginer ce qui se passe si  est obtus .


Imod

[lapras]

Je vois
c'est exactement ce que j'avais fait ! :happy2:
J'avais utilisé plusieurs médiatrices.
En fairt j'utilise le fait que si on a deux points A et B le chemin le plus court pour aller vers B en partant de A et en passant par la rivière (PQ) c'est l'intersection de (MM') avec (PQ), M' étant le symétrique de M par rapport à (PQ)

[lapras]

En conclusion M , N et P sont les pieds des trois hauteurs, MNP est le triangle dit "orthique" et son périmètre est minimum. :++:

[Imod]

En conclusion M , N et P sont les pieds des trois hauteurs, MNP est le triangle dit "orthique" et son périmètre est minimum. :++:

Si ABC est acutangle !!!

Imod

[Dark Page]

Bonjour
desolé de poser la question mais c'a veut dire quoi acutangle
Et pourquoi ne faite vous aucun calcul moi
j'aurai pris trois longueur a, b, c respectivement sur [BC], [AC], [AB]
et j'aurai utilisé al-kashi pour en deduire les longueurs minimales en fonction
de a, b, c

[Imod]

Bonjour
desolé de poser la question mais c'a veut dire quoi acutangle et pourquoi ne faite vous aucun calcul moi j'aurai pris trois longueur a, b, c respectivement sur [BC], [AC], [AB] et j'aurai utilisé al-kashi pour en deduire les longueurs minimales en fonction de a, b, c

Larousse est ton ami ( à chanter sur l'air de Google est ton ami ) : triangle acutangle , à trois angles aigus . Si tu veux faire des calculs vas-y mais sans moi , c'est tellement plus beau sans !!!

Imod

[Zweig]

Lorsque ABC a un angle obtus, alors le triangle orthique MNP est obtenu lorsque M = N = C et P le pied de la hauteur issue de C. Le triangle obtenu est donc dégénéré.

[lapras]

Oula avec des calculs ca doit être horriblement long !!
(je n'ose meme pas imaginer)

[Zweig]

Et encore, est-ce vraiment possible avec Al-Kashi ? Je ne pense sérieusement pas ...

[lapras]

Non je pense plutôt qu'il faut poser un repère orthonormé... (l'horreur !)