Exercice anneaux.

[L.A.]

On vérifie que l'opposé (pour la première loi) d'un élément inversible (pour la deuxième loi) est aussi inversible. C'est clair puisque si x est inversible, d'inverse y, alors (-x) est aussi inversible, d'inverse (-y).

[Archytas]

Ben, si x est un élément inversible (d'inverse y), alors -x est inversible (d'inverse -y).

Oui. Comment en arrivez vous au fait qu'il existe y tel que y+y=0 et y différent de 0 ?

[L.A.]

Prends un élément y de U(A). Soit il est son propre opposé (cad y=-y ou encore y+y=0) et c'est gagné, soit il ne l'est pas. Dans ce cas, (-y) est un AUTRE élément de U(A).

Considère E = U(A) privé de {-y,y}, cet ensemble contient trois éléments. Prend un élément z dans E. Soit il est son propre opposé et c'est gagné, soit il ne l'est pas. Dans ce cas (-z) est un AUTRE élément de E.

Et E privé de {-z,z} n'a plus qu'un seul élément qui est forcément son propre opposé.

En bref, U(A) contient forcément un élément qui est son propre opposé parce qu'il est supposé de cardinal 5 impair et que les éléments qui ne sont pas leur propre opposé se regroupent deux par deux.

[Archytas]

D'accord !!! J'ai compris merci !
Et comme tout élément de E est non nul on a 2=0 donc c'est absurde donc un tel anneau n'existe pas ! C'est ça ?
Du coup il n'existerait aucun anneau dont le cardinal des éléments inversibles serait impair ?

[leon1789]

Non, malheureusement pour toi, il existe bel et bien des anneaux où 2=0 (comprendre )

[jlb]

par exemple Z/2Z={[0],[1]} où[0] représente tous les nb relatifs divisibles par deux et [1] tous les nombres relatifs dont le reste de la division par 2 est 1

muni des lois ^* et .* [x]+*[y]=[x+y] et [x].*[y]=[xy]

[1]+*[1]=[1+1]=[2]=[0]

[Archytas]

Excellent !!!!

J'avais déjà rencontré cet anneau avec le modulo, mais j'avais pas tellement compris comment ça marchait, le texte n'expliquait pas qu'on mettait le reste x+y ou x.y au modulo n... Bref, merci, c'est clair comme ça !

Par contre je n'ai pas compris comment vous concluez... du coup comme l'explique Doraki pour tout y on a y=-y ! Avec ces 2=0 qui sont non contradictoires j'ai du mal à voir où est la contradiction.

[L.A.]

Dans un anneau quelconque, l'opposé d'un élément x est toujours le produit (-1).x où (-1) désigne l'opposé de l'élément neutre 1.

Ici, puisque y = 1.y = -y = (-1).y pour un certain y inversible, on peut simplifier par y et on obtient 1=-1, donc pour TOUT élément x on a -x = (-1).x = 1.x = x, et donc tout élément est son propre opposé.

N'y vois surtout aucune méchanceté de ma part, ce n'est pas du tout mon intention, mais je pense que tu as besoin de te familiariser un peu plus avec les petites subtilités du calcul dans les anneaux pour bien comprendre cet exercice...

Quand on dit 2=0, ce n'est aucunement une contradiction, parce que il faut comprendre que 2 ne désigne pas l'entier 2, mais vraiment un élément de l'anneau, précisément 1+1. Dans un anneau, on notera souvent 2 au lieu de 1+1 pour aller plus vite, mais il ne faut pas le comprendre autrement. Du coup, il n'est pas interdit que 1+1=0, ce qui se notera aussi 2=0 par léger abus.

[Archytas]

Ne t'en fais pas je le prends pas mal, je manipule pas des anneaux tous les jours. Et oui ça ne me paraît pas naturel tout ça, bien que ça soit des notations. Donc le fait que chaque élément soit son propre opposé, c'est ça la contradiction ?

Merci de votre patience... :triste: .

[L.A.]

Non pas du tout, le fait que tout élément soit sont propre opposé n'est pas impossible, cela peut parfaitement arriver dans certain anneaux, par exemple Z/2Z (ce n'est pas très étonnant puisque cet anneau n'a que deux éléments, mais bon ça arrive aussi dans des anneaux plus gros, tu peux penser à l'anneau de polynômes (Z/2Z)[X]).

Comme l'a montré Leon, la contradiction vient du fait que si le groupe des inversibles U(A) est d'ordre impair et s'il contient un élément x d'ordre 5 (ce qui est le cas lorsque U(A) est supposé lui même d'ordre 5), alors on peut en déduire un élément de U(A) qui est d'ordre 3 (Leon a trouvé 1+x^2-x^3). Or un groupe d'ordre 5 ne peut pas contenir d'élément d'ordre 3.

[Archytas]

Ok, je vois l'idée mais pour tout comprendre c'est pas pour maintenant, merci pour votre aide, bonne journée :lol3: !