Exercice anneaux.

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darkpseudo
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Exercice anneaux.

par darkpseudo » 01 Aoû 2012, 21:33

Bonjour à tous; voici un petit exo que j'ai trouvé fort intéressant :
Prouvez que le groupe des inversibles d'un anneau ( groupe des unités) ne peut être de cardinal 5.



Pianoo
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par Pianoo » 09 Oct 2012, 14:47

darkpseudo a écrit:Bonjour à tous; voici un petit exo que j'ai trouvé fort intéressant :
Prouvez que le groupe des inversibles d'un anneau ( groupe des unités) ne peut être de cardinal 5.


Bonjour t'es sûr de toi ?

Parce qu'il me semble que le groupe des inversible de Z / 10Z est de cardinal 5 ...?

Archytas
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par Archytas » 22 Avr 2013, 23:33

Quelqun pourrait proposer une démonstration ? J'imagine qu'il faut le faire par l'absurde mais je ne vois pas comment utiliser la première loi de l'anneau...

L.A.
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par L.A. » 23 Avr 2013, 00:23

Bonjour.

si U(A) est de cardinal 5, alors il existe un élément inversible x tel que x=-x (équation aux classes)
d'où -1 = 1, donc A est de carctéristique 2, donc c'est un F_2-espace vectoriel.
Ensuite on choisit x un générateur de U(A), son polynôme minimal sur F_2 est
Phi_5 = X^4+X^3+X^2+X+1
(Phi_5 est bien irréductible sur F_2 puisqu'il n'a pas de racine, que le seul irréductible de degré 2 est X^2+X+1 et que son carré est X^4+X^2+1)
Donc le corps engendré est F_2(x)=F_16, de groupe des inversibles Z/15Z, qui ne peut pas être contenu dans U(A).

Ca a l'air de marcher, vous êtes d'accord ?

Archytas
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par Archytas » 23 Avr 2013, 00:31

L.A. a écrit:Bonjour.

si U(A) est de cardinal 5, alors il existe un élément inversible x tel que x=-x (équation aux classes)
d'où -1 = 1, donc A est de carctéristique 2, donc c'est un F_2-espace vectoriel.
Ensuite on choisit x un générateur de U(A), son polynôme minimal sur F_2 est
Phi_5 = X^4+X^3+X^2+X+1
(Phi_5 est bien irréductible sur F_2 puisqu'il n'a pas de racine, que le seul irréductible de degré 2 est X^2+X+1 et que son carré est X^4+X^2+1)
Donc le corps engendré est F_2(x)=F_16, de groupe des inversibles Z/15Z, qui ne peut pas être contenu dans U(A).

Ca a l'air de marcher, vous êtes d'accord ?

Je t'ai perdu à la première ligne, je ne sais pas ce que c'est "de caractéristique 2", "F_2-espace-v","polynôme minimal" etc...
Mais ça doit être possible avec des outils type L1, non ??
Si on appelle (A,*,T) l'anneau. On suppose que U(A)={x1,...,x5}, on sait qu'il y a l'élément neutre dedans (par exemple x1=1) et que les autres élément ont un inverse dans U(A) (par exemple x2 T x3=1 et x4 T x5=1) et après j'imagine que pour trouver une contradiction on peut utiliser la première loi ?

L.A.
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par L.A. » 23 Avr 2013, 00:59

OK je vais essayer d'être plus terre à terre... C'est sûr que j'ai utilisé des usines à gaz un peu partout, il doit y avoir plus élémentaire. Je vais y réfléchir...

Archytas
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par Archytas » 23 Avr 2013, 01:15

C'est gentil, merci !!

L.A.
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par L.A. » 23 Avr 2013, 01:35

Désolé, je crois que j'ai fais une erreur, mon truc ne doit marcher que si A est sans diviseur de 0. Mais je vais quand même y réfléchir...

L.A.
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par L.A. » 23 Avr 2013, 02:48

Désolé, mon truc ne fonctionne que si A est sans diviseurs de 0, et j'ai l'impression qu'il faut le supposer, en tout cas je n'arrive pas sans pour l'instant....

Je te le donne quand même au cas où :

je vais noter simplement (A,+,.) l'anneau et les éléments neutres 0 et 1.

On montre déjà que 1 est son propre opposé : il existe un élément y inversible tel que y=-y, car l'opposé d'un inversible est inversible, et donc le cardinal de U(A) serait pair sinon. En divisant par y on a 1=-1, puis a=-a pour tout a (c'est une petite magie de la caractéristique 2, si tu n'es pas très habitué aux anneaux je te laisse vérifier plus finement tout ce que je dis)

Comme U(A) est un groupe d'ordre premier 5, il existe un x qui l'engendre (théorème de Lagrange, j'espère que tu connais ça), et on a
U(A) = {1,x,x^2,x^3,x^4}
0 = x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
donc x^4+x^3+x^2+x+1 = 0 (ici j'utilise l'hypothèse supplémentaire : ab=0 implique a=0 ou b=0)
l'élément z = x+1 n'est pas égal à 1 (car x est non nul) ni x (car 1 est non nul), ni x^2
(sinon x^4=-x^3=x^3), ni x^3, ni x^4 (pour le même genre de raisons).
et pourtant x^4=(x+1)(x^2+1) ce qui implique que z est inversible.

Tout vient de la relation en gras, mais personnellement je tourne en rond en cherchant à la démontrer sans l'hypothèse supplémentaire.

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leon1789
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par leon1789 » 23 Avr 2013, 11:22

darkpseudo a écrit:Prouvez que le groupe des inversibles d'un anneau ( groupe des unités) ne peut pas être de cardinal 5.

De manière plus générale (plus positive, plus informative :lol3: ) :

Soit x un inversible d'ordre 5. En particulier, et .
On suppose que le groupe des inversibles est d'ordre impair.


D'une part, le théorème de Lagrange montre que -1 est d'ordre divisant à la fois un nombre impair et 2, donc son ordre est 1, autrement -1 = 1 (et donc 2=0) dans l'anneau.

D'autre part, on a et (commutation des éléments en jeu dans le développement), donc est inversible d'ordre 3.

Conclusion : l'ordre du groupe des inversibles est multiple de ppcm(3,5) = 15
et donc ne peut être 5...


Remarque : l'entier 15 est "optimal" car on peut considérer le corps à éléments dont le groupe (cyclique) des inversibles est d'ordre 15.

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leon1789
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par leon1789 » 23 Avr 2013, 12:03

Que démontre réellement cette preuve par l'absurde ?

Dans un anneau de caractéristique 2, lorsqu'un élément inversible x est d'ordre 5, alors est également inversible () et l'ordre de y est 15. :lol3:

Voilà qui est plus informatif que la non-existence d'un groupe d'inversibles à 5 éléments. :marteau:

Archytas
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par Archytas » 23 Avr 2013, 15:58

Merci à vous deux, mais je n'ai pas vu tous ces théorèmes, et ces outils que vous utilisez !
Tant pis, j'y reviendrai dans quelque temps.
Il y a quelque chose qui me semble quand même bizarre ! Vous dites qu'il existe un élément y tel que y=-y et je suis bien d'accord avec vous seulement pour un anneau c'est l'élément neutre de la première loi qui vérifie cette propriété et c'est le seul élément dont on peut dire à coup sûr qu'il n'est pas inversible par la deuxième loi et donc il est impossible de "diviser par y", n'est ce pas ?
Et L.A. qu'est ce que tu appelles de "caractéristique 2" c'est le nombre de loi dont l'ensemble est munit ?

Doraki
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par Doraki » 23 Avr 2013, 16:19

Archytas a écrit:Vous dites qu'il existe un élément y tel que y=-y et je suis bien d'accord avec vous seulement pour un anneau c'est l'élément neutre de la première loi qui vérifie cette propriété

non, on dit qu'il existe un élément inversible y vérifiant y = -y.

Si c'était pas le cas tu pourrais partitionner l'ensemble des inversibles en paires {y, -y}, et donc il y aurait un nombre pair d'éléments inversibles.
Si tu supposes qu'il y a 5 éléments inversibles, alors au moins l'un d'entre eux est son propre opposé, et donc y+y = 0, et donc (en multipliant par l'inverse de y), 1+1 = 0, et en fait y = -y pour tout y.

Archytas
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par Archytas » 23 Avr 2013, 16:32

Désolé je suis un peu perdu, quand on parle des éléments inversibles, c'est ceux de la deuxième loi, non ? Et oui pour que l'ensemble soit de cardinal impair il faut que x*x=1 et du coup c'est bien 1 qui vérifie cette propriété !
Je ne vois pas comment vous parvenez à dire que ce y existe et qu'il est différent de 0 ! Si c'est le cas il n'y a pas besoin d'aller plus loin le fait que 2=0 est une contradiction suffisante pour conclure,non ?

L.A.
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par L.A. » 23 Avr 2013, 16:43

En effet Leon, je réfléchissais en direct et j'étais sur la mauvaise piste, il valait mieux chercher à multiplier qu'à diviser...

Sinon, pour préciser le terme "caractéristique 2" :

Si A est un anneau quelconque, il existe un unique morphisme d'anneaux Z -> A
(défini par n -> n.1 = 1+1+...+1)
et on appelle caractéristique de cet anneau l'entier positif n tel que nZ est le noyau de ce morphisme.

Ici, cet anneau (s'il en existait un...) est non nul (1 est différent de 0) et on a 1+1=0, donc il est de caractéristique 2.

Doraki
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par Doraki » 23 Avr 2013, 16:46

Oui quand on dit un élément inversible c'est pour la loi * (puisque dans un anneau tous les éléments sont inversibles pour +, et on les appelle plutôt les opposés, et on note -x l'opposé de x : x + (-x) = 0)

"pour que l'ensemble soit de cardinal impair il faut que x*x=1" Cette phrase ne veut rien dire, et je ne vois pas du tout avec quel raisonnement tu le rattaches à la discussion : tu la sors totalement de nulle part sans dire pourquoi c'est vrai ni pourquoi t'as envie de le dire.

J'ai l'impression que tu veux apparier chaque élément inversible avec son inverse.
Tout ce que tu peux dire, c'est qu'il doit exister un nombre impair d'éléments x qui soient leur propre inverse, tout comme nous on essaye de t'expliquer que si on apparie chaque élément avec son opposé, on voit qu'il doit exister un nombre impair d'éléments x qui soient leur propre opposé.

Seulement ça t'avance pas beaucoup de savoir qu'il y a un élément qui est son propre inverse puisque 1 l'est toujours, et en général, -1 en est un autre, et puis il peut très bien y en avoir d'autres.
Savoir qu'il y a un élément qui est son propre opposé, par contre, ça aide.

Mathusalem
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par Mathusalem » 23 Avr 2013, 16:51

Il me semble que ce problème traduit exactement le théorème de restriction crystallographique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_restriction_cristallographique

Peut-être cela n'a rien à voir, mais il me semble bien que les symétries discrètes du plan (rotations) sont des représentations de groupes cycliques (anneaux?)

A+

Archytas
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par Archytas » 23 Avr 2013, 17:25

Et bien je pars du principe que l'ensemble que vous appelez U(A)={x1,...,x5} possède 5 éléments et que chacun à son inverse dans U(A) (car les inverses sont inversibles). Donc puisqu'il y en a un nombre impair il y en a un qui est son propre inverse x*x=1, je ne vois pas comment vous faites pour en arriver au même raisonnement pour la première loi... quand vous parlez de x, c'est un x de U(A) ou de A ?
Désolé si je suis pas clair, je fais mon possible pour vous suivre.

Doraki
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par Doraki » 23 Avr 2013, 17:43

Ben, si x est un élément inversible (d'inverse y), alors -x est inversible (d'inverse -y).

jlb
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par jlb » 23 Avr 2013, 17:43

si x inversible d'inverse y alors (-x)*(-y) cela donne quoi?

 

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