L.A. a écrit:Bonjour.
si U(A) est de cardinal 5, alors il existe un élément inversible x tel que x=-x (équation aux classes)
d'où -1 = 1, donc A est de carctéristique 2, donc c'est un F_2-espace vectoriel.
Ensuite on choisit x un générateur de U(A), son polynôme minimal sur F_2 est
Phi_5 = X^4+X^3+X^2+X+1
(Phi_5 est bien irréductible sur F_2 puisqu'il n'a pas de racine, que le seul irréductible de degré 2 est X^2+X+1 et que son carré est X^4+X^2+1)
Donc le corps engendré est F_2(x)=F_16, de groupe des inversibles Z/15Z, qui ne peut pas être contenu dans U(A).
Ca a l'air de marcher, vous êtes d'accord ?
darkpseudo a écrit:Prouvez que le groupe des inversibles d'un anneau ( groupe des unités) ne peut pas être de cardinal 5.
Archytas a écrit:Vous dites qu'il existe un élément y tel que y=-y et je suis bien d'accord avec vous seulement pour un anneau c'est l'élément neutre de la première loi qui vérifie cette propriété
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