[Défi] Equation "non standard"

[egan]

positif pour tous réels y et z, ça revient à positif pour y et z positifs.
C'est une identité remarquable en plus donc c'est forcément positif. ^^
C'est bon ça marche. J'ai compris.

[egan]

Désolé, j'avais pas vu ton post. Oui en effet, c'est plus élégant comme ça.
Je sais pas si c'est bien correcte ce que j'ai mis avant. C'est mieu de dire que abs(yz)=yz ou -yz.

[Dinozzo13]

salut ! quelqu'un pourrait-il faire une correction simple et complète ^^ merci

[egan]

Tu as la correction de Zweig.

Sinon voilà ce à quoi j'avais pensé:

Tu considères y et z comme des réels quelconques. Tu ramènes tous les membres de l'équation du même côté de sorte à avoir un polynôme en x qui est égal à 0.
Tu remarqueras alors que ton polynôme est du quatrième degrès. Plutôt ennuyant. Seulement, coup de bol, tu n'as das ton polynôme du quatrième degrès que des et des . Il suffit alors de poser et tu te retrouves avec un équation du second degrès que tu sais résoudre. Par contre comme les solutions que tu vas trouver sont des carrés, il faudra t'assurer qu'elles soient bien positives.
En calculant le discriminant tu trouves 16y²z² et le tour est jouer. Tu trouveras les solutions que j'ai donné plus haut qui sont bien positives. Ce n'est pas finit, il ne faut pas oublier le changement de variable que l'on a fait plus haut. Les solutions seront donc les racines et les opposés des racines des solutions de l'équation du second degrès.
Je sais pas si c'est clair mais si tu as des questions, n'hésite pas.

[Dinozzo13]

si ça me semble assez clair, mais que sont y et z dans l'histoire, des paramètres ou bien des variables ? puisque dans l'énoncé, il est dit qu'on cherche des triplets (x,y,z).
En posant j'arrive à :

je calcule le discriminant :

Il est evident que ^^
On étudie séparement les cas et mais après avec deux autres variables je vois pas trop comment faire :triste:

[egan]

Tu considères y et z comme des paramètres, c'est-à-dire des nombres qui peuvent varier comme ils veulent, donc cela revient au même que des variables dans ce cas. A noter que tu aurais très bien pu faire un polynôme en y ou en z.
Ton polynôme est de la forme donc le seul changement vraimant utile à faire est .
Tu n'est pas obligé de dissocier les cas où delta est nul et où il est strictement positif.
Rappelle toi les solutions de l'équation : elles sont . Avec delta nul, tu retrouves la solution .

[Zweig]

Salut,

L'idée est de considérer l'équation comme une équation d'inconnue et de paramètres et , c'est-à-dire qu'on considère qu'ils sont fixés. Un peu comme si tu voulais étudier les variations de la fonction en dérivant par rapport à et en considérant la variable comme un paramètre (un réel fixé). On aurait dans ce cas .

L'équation se réécrit :
En faisant le changement de variable , on se ramène à une équation du second degré en : avec et des paramètres.



Donc , d'où

et

Donc tu en déduis que les solutions sont donnés par les couples



avec

[egan]

Attention .

[busard_des_roseaux]

autre possibilité, le binôme




y ressemble.





et après ça se factorise bien. ça ressemble à la démonstration
de la formule du Héron d'aire d'un triangle



où la factorisation est interminable.

[Zweig]

Oui, je l'ai déjà donnée dans la page juste avant.

[Dinozzo13]

Ca, c'est la méthode 1°-T°S on va dire. Pour les Secondes-Troisièmes, voici une méthode qui est, selon moi, plus naturelle (et qui complique la chose si on ne connaît pas la résolution des équations du second degré, donc).

On remarque les égalités suivantes :

très malin ^^, mais comment en tirer les solutions ?

Salut,

L'idée est de considérer l'équation comme une équation d'inconnue et de paramètres et , c'est-à-dire qu'on considère qu'ils sont fixés. Un peu comme si tu voulais étudier les variations de la fonction en dérivant par rapport à et en considérant la variable comme un paramètre (un réel fixé). On aurait dans ce cas .

L'équation se réécrit :
En faisant le changement de variable , on se ramène à une équation du second degré en : avec et des paramètres.



Donc , d'où

et

Donc tu en déduis que les solutions sont donnés par les couples



avec

Attention .

En me basant sur ce qui a été dit, je trouve :

ou ou

ce qui équivaut à :

ou ou

d'où :


ou
ou
ou
ou
ou

mais je ne comprends pas ce que je dois faire après :triste:

[Dinozzo13]

Ca, c'est la méthode 1°-T°S on va dire. Pour les Secondes-Troisièmes, voici une méthode qui est, selon moi, plus naturelle (et qui complique la chose si on ne connaît pas la résolution des équations du second degré, donc).

On remarque les égalités suivantes :

très malin ^^, mais comment en tirer les solutions ?

[busard_des_roseaux]

ou
ou
ou
ou
ou

mais je ne comprends pas ce que je dois faire après :triste:

y a une erreur de calcul: c'est 2 à la place de 4.

Cette erreur provient du fait que tu n'utilise pas la formule
du discriminant réduit , valable quand b=2b'
et qui simplifie notablement les calculs.


du coup, l'intérieur des racines sont des carrés parfaits
et les racines se simplifient avec la formule

[Dinozzo13]

y a une erreur de calcul: c'est 2 à la place de 4.

Cette erreur provient du fait que tu n'utilise pas la formule
du discriminant réduit , valable quand b=2b'
et qui simplifie notablement les calculs.

là, je ne comprends pas bien :doh:

Ok donc, rectification, mes réponses sont :


ou
ou
ou
ou
ou

[Dinozzo13]

y a une erreur de calcul: c'est 2 à la place de 4.

Cette erreur provient du fait que tu n'utilise pas la formule
du discriminant réduit , valable quand b=2b'
et qui simplifie notablement les calculs.

là, je ne comprends pas bien :doh: