Démontrer cette inégalité

[Keslssddsss]

Prove that

vam edit > ** titre modifié**

[Ben314]

C'est FAUX : pour le terme de gauche est qui tend vers lorsque alors que le terme de droite tend vers 0.

[catamat]

Il y a aussi le fait que dans la somme du terme de gauche le terme général est
autrement dit l'exposant de t est un impair, comment donc obtenir t² par exemple ?

[Ben314]

La façon dont je vois l'énoncé, c'est ça :

où on somme sur tout les entiers jusqu'à un certain entier impair .
Pour le il est fort probable que ce soit , mais pour le c'est plus que louche : si on se restreint à alors la somme dans l'intégrale est croissante en donc l'inégalité est vraie pour tout n si et seulement si elle est vrai pour la limite , c'est à dire pour à la place de la somme. La somme ne sert donc à rien et le encore moins.
SI on accepte les , alors la somme alterne les +,-, il n'est pas clair qu'elle soit croissante (en ) et le fait qu'on s’arrête à prend du sens. Sauf que le résultat est faux dans ce cas . . .

[catamat]

Je me demande si cela ne serait pas :


L'avantage c'est que cela fait disparaitre t/1! qui posait un problème en donnant ln(1+x²).

De plus on peut trouver une relation de récurrence entre la primitive de et celle de

[catamat]

Soit une primitive sur R de telle que

et soit
Les sont les fonctions apparaissant dans le membre de droite de l'inégalité
On a

donc

De plus
donc pour k=1:

et
pour k=2

et


Sur la figure ci-dessous j'ai représenté la fonction f du membre de droite en rouge, et les fonctions pour n= 0,1,2,3
On peut remarquer qu'elles sont au dessous mais plutôt proches au voisinage de 0.
Reste à le démontrer...