[Novice] Une méthode plus élémentaire pour démontrer cette i

[Olympus]

Bonjour,

Je ne sais pas si cet exercice a sa place ici, mais bon ( mon tout premier emploi de Cauchy-Schwarz, Chebyshev et le réordonnement ) ...

On a trois réels strictement positifs : , et tel que .

Montrer que : .

Voici comment j'ai procédé : ( si c'est trop bourrin vous me le dites :ptdr: )




Donc pour montrer que , il suffit de montrer que

Par symétrie des rôles, on pose : .

Donc et .

D'après l'inégalité du réordonnement : .

D'après Chebyshev, on a : .

On a aussi : .

Donc .



Donc, de retour à notre premier résultat de l'application de Chebyshev, on a :

(i) :

Selon Cauchy-Schwarz, on a :

Càd : .

Donc : .

On retourne à (i) : .

Et selon le premier réordonnement, on déduit que .

Et enfin, .

N'existe-t-il pas d'autre méthode plus élémentaire ( ou plus courte ) ?

Aussi, est-ce que ma démonstration est sans fautes ? C'est la première fois que je démontre une inégalité d'un exo d'olympiades :happy2:

Merci !

[Zweig]

Ta démonstration est ce qu'il y a de plus correcte. Je ne la trouve pas si bourrine que ça (les calculs ne sont pas très fastidieux et y en a pas tant que ça !).

[Olympus]

Ta démonstration est ce qu'il y a de plus correcte. Je ne la trouve pas si bourrine que ça (les calculs ne sont pas très fastidieux et y en a pas tant que ça !).

Merci alors ! :we:

En faite, par "bourrine" je voulais dire que j'ai appliqué trop de théorèmes ( 3 si on compte le réordonnement aussi ) et j'étais intéressé par une démonstration plus courte ( si elle existe bien entendu ) ^^

[Zweig]

Je viens d'en trouver une autre de démo, effectivement plus courte (n'utilisant que l'inégalité de Schur). Je la posterai ce soir, là je sors.

[Olympus]

Euh j'ai comme un doute là, j'ai mal employé l'inégalité de Chebishev, non ? C'est dit dans le théorème que les suites doivent être du même ordre, or là l'une est croissante, l'autre est décroissante .

Donc mon raisonnement est faux ? Pourtant ça m'a conduit au résultat

[Doraki]

Y'a toujours une démo élémentaire qui fait 2 lignes :

(a+b+c)(a+b)(b+c)(a+c)-2ab(b+c)(a+c)-2ac(b+c)(a+b)-2bc(a+b)(a+c)
= (((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)(ab+bc+ac)+(c(a-b)²+a(b-c)²+b(c-a)²)(a+b+c))/3
>= 0.

Donc ab/(a+b) + bc/(b+c) + ac/(a+c) <= (a+b+c)/2.

[Olympus]

Y'a toujours une démo élémentaire qui fait 2 lignes :

(a+b+c)(a+b)(b+c)(a+c)-2ab(b+c)(a+c)-2ac(b+c)(a+b)-2bc(a+b)(a+c)
= (((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)(ab+bc+ac)+(c(a-b)²+a(b-c)²+b(c-a)²)(a+b+c))/3
>= 0.

Donc ab/(a+b) + bc/(b+c) + ac/(a+c) <= (a+b+c)/2.

Pas mal, c'est effectivement plus court :++:

( je ne sais par contre pas pourquoi je n'ai pas pensé à la soustraction au début :marteau: )

[Doraki]

Je note que tu fais 4 applications de théorèmes dans ta démonstration, alors que quand on voit qu'il n'y a que deux combinaisons symétriques de carrés au final, on se dit qu'on devrait pouvoir s'en sortir en ne faisant que 2 applications de théorèmes.

Enfin bon je vais pas traduire ta preuve en algèbre pure pour voir ce qui s'y passe, j'ai la flemme.

[Zweig]

Euh j'ai comme un doute là, j'ai mal employé l'inégalité de Chebishev, non ? C'est dit dans le théorème que les suites doivent être du même ordre, or là l'une est croissante, l'autre est décroissante .

Donc mon raisonnement est faux ? Pourtant ça m'a conduit au résultat

L'inégalité de Cherbychev dit juste que si tu as deux suites de réels et telles que :





alors



L'inégalité est renversée lorsque tes deux suites sont rangées dans l'ordre inverse. Ici tes suites de réels sont les carrés et les fractions, qui sont bien rangées dans le même ordre, donc tu peux appliquer Cheby sans problème.

[Olympus]

Bon j'avais fait ceci :


Sauf que je n'ai pas rangé les suites dans le même ordre, car j'ai multiplié par . Donc tout le raisonnement est faux ?

[Nightmare]

Je note que tu fais 4 applications de théorèmes dans ta démonstration, alors que quand on voit qu'il n'y a que deux combinaisons symétriques de carrés au final, on se dit qu'on devrait pouvoir s'en sortir en ne faisant que 2 applications de théorèmes.

Enfin bon je vais pas traduire ta preuve en algèbre pure pour voir ce qui s'y passe, j'ai la flemme.

Peux-tu développer Doraki? Ce que tu dis m'intrigue !

[Doraki]

Ben en fait ça aurait un sens si il y avait une sorte d'écriture unique du terme en combinaisons symétriques de carrés.
Je pense que l'inégalité du réordonnement, Cauchy-Schwarz, et tous les autres disent tous que la différence entre les 2 membres de l'eur inégalité diffèrent d'une combinaison de carrés (et on s'arrange pour pas briser les symétries), donc la démo proposée par Olympus revient vraisemblablement à dire que machin-truc = une somme de 4 combinaisons de carrés >= 0.

Et en fait,
(((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)(ab+bc+ac)+(c(a-b)²+a(b-c)²+b(c-a)²)(a+b+c))/3
se factorise un peu en
((a-b)²(ab+2bc+2ac+c²) + (b-c)²(bc+2ab+2ac+a²) + (c-a)²(ac+2ab+2bc+b²))/3,
soit une seule combinaison.

J'avais pas trop regardé hier mais je crois bien qu'en fait on peut tout faire avec une combinaison de ce genre : P(a,b,c)(b-a)² + P(b,c,a)(c-b)² + P(c,a,b)(a-c)², où P(a,b,c) = P(b,a,c) et P positif.

Qui sait, ptetre que les 4 théorèmes d'Olympus correspondent aux 4 monômes de P. Faudrait regarder.

[Zweig]

P(a,b,c)(b-a)² + P(b,c,a)(c-b)² + P(c,a,b)(a-c)², où P(a,b,c) = P(b,a,c) et P positif.

Plus généralement, on montre que si une inégalité est homogène en ses variables a,b et c, alors il existe des expression P, Q et R telles que notre inégalité se réécrit P(a-b)^2 + Q(a-c)^2 + R(b-c)^2

[mathlegend]

cette inégalité équivalente a

2ab/(a+b) +2ac/(a+c) +2bc/(b+c) <= 1

on a (a+c)>= 2sqrt(ac) -------- donc : 2ac/(a+c) <= sqrt(ac)
on fait la meme chose pour (a+b) et (b+c)
donc il suffit de montrer que
sqrt(ac) + sqrt(ab) +sqrt(bc) <= 1 ---------(1)

on sait que a+b>= 2sqrt(ab)
a+c>=2sqrt(ac)
b+c>=2sqrt(bc)
alors on faisant la combinaison on trouve (1)
d'ou le résultat :ptdr: :ptdr:

[Olympus]

Allez pour la troisième fois ... Regarde bien les dates :doh:

Heureux que mes vieux sujets t'intéressent, mais cela devient lourd si tu dois répondre à tous un par un alors que j'ai déjà trouvé mes réponses depuis .

[mathlegend]

je veut seulement t'aider a resoudre dans 5 lignes non plus :hein:

[ibn haitam]

Donc pour montrer que , il suffit de montrer que

ici je n'ai pas trés bien compris

[Olympus]

Salut !

Comme je l'ai dit à l'autre, les dates :zen: :

À ce moment là je débutais juste en inégalités donc c'est normal de trouver des betises dans mes posts ( d'ailleurs dans celui-ci, j'ai mal employé Tchebyshev ) .

Pour ta question :



D'où le résultat .

Ce qui suivra dans mon post est par contre, comme je l'ai dit, faux .