Connexité (bis)

[Nightmare]

Hello,

je considère continue. Montrer que l'ensemble des points (x,y) du plan tels que n'est pas borné.

bonne réflexion.

:happy3:

[Anonyme]

Hello,

je considère continue. Montrer que l'ensemble des points (x,y) du plan tels que n'est pas borné.

bonne réflexion.

:happy3:

N'est pas borné infini ?

[Nightmare]

Qu'appelles-tu "infini" ? Par exemple pour toi, est-ce qu'un disque est infini?

[Nightmare]

Bon, quelques remarques :

Je pensais avoir une solution "simple" de l'exercice de tête, mais après l'avoir écrite, je me rends compte qu'elle ne tient pas la route. Je viens d'en trouver une autre tout aussi simple mais dont les outils dépassent le niveau auquel je situais l'exercice. En l'occurrence, on a besoin de savoir ce qu'est une fonction de deux variables continues, et sans être nécessaire de savoir formellement ce qu'est un ensemble connexe, il faut tout de même savoir que le théorème des valeurs intermédiaire est toujours valable, à savoir que l'image par une application continue d'un ensemble en un seul morceau est encore en un seul morceau (=connexe)

[Doraki]

J'dois avoir une preuve plus simple alors.

[Nightmare]

Je suis tout ouïe!

[Doraki]

J'appelle f(x) = g(x)+x.

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Et les fonctions f et g sont continues.
Si g(R) est minoré alors f(R) n'est pas majoré.
Et inversement, si g(R) est majoré alors f(R) n'est pas minoré.


Si g(R) = R alors pour x il existe y tel que g(y)=f(x), donc on trouve des (x,y) avec x aussi grand/petit qu'on veut.

Si g(R) est borné, alors f(R) = R, et donc pour tout y il existe x tel que g(y)=f(x), donc on trouve des (x,y) avec y aussi grand/petit qu'on veut.

Si g(R) est minoré mais pas majoré, alors f(R) n'est pas majoré non plus. Donc l'un des deux est inclus dans l'autre, et on se retrouve dans l'une des deux situations précédentes.

Si g(R) est majoré mais pas minoré, alors f(R) n'est pas minoré non plus, et c'est pareil qu'au-dessus.

[Nightmare]

Effectivement ça marche bien !

[Anonyme]

Qu'appelles-tu "infini" ? Par exemple pour toi, est-ce qu'un disque est infini?

C'est a dire qui a une infinité de points.

En fait pour moi borné veut dire majoré et minoré (ex suite bornée ) mais la je ne vois pas comment un ensemble de point peut être borné si on continue avec la même définition puisqu'il n'y a pas une relation d'ordre dans C.

[Nightmare]

Donc pour toi, dans R, l'intervalle [0,1] serait donc non borné ?

Une définition simple serait la suivante : Un ensemble est borné si son "diamètre" est fini, c'est à dire si la distance entre ses points est majorée. Dans R, un ensemble borné est un ensemble qui est contenu dans un intervalle ]a;b[, dans R², un ensemble borné est un ensemble qui est contenu dans un disque.

[Anonyme]

Y aurait pas des conditions sur g(x) ? car il me semble que pour g(x)=0 ça ne marche pas .

[Nightmare]

Oui, g doit être non constante

[Doraki]

Pour g(x) = 0, {(x,y) / g(y) = g(x)+x} = {(x,y) / 0 = x} = la droite d'équation x = 0, et c'est un ensemble non borné...

[Nightmare]

Quel idiot, bien entendu, c'est {a}xR et non juste {a}...