Comment homogénéiser cette inégalité ?

[Olympus]

Bonjour,

Voici l'énoncé :

et .

Prouver que :

( je ne veux pas de solution pour le moment sauf si j'abandonne )

Comme je débute un peu en homogénéisation, voici ce que j'ai fait juste pour la rendre homogène :




Mais y a le 4 qui me gène ...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci !

[Doraki]

Il faut montrer que si P(x,y,z) = (x²+y²+z²)(x+y+z)-2xyz ;
x²+y²+z² = 2 implique P(x,y,z) <= 4.

Or, (-x)²+(-y)²+(-z)² = x²+y²+z², et P(-x,-y,-z) = -P(x,y,z).

Donc tu ne perds rien à vouloir montrer que -4 <= P(x,y,z) <= 4,
C'est à dire (P(x,y,z))² <= 16.

Et là on peut s'affranchir de x²+y²+z² = 2 :

Le problème équivaut donc à montrer que pour tout x,y,z,
((x²+y²+z²)(x+y+z)-2xyz)² - 2(x²+y²+z²)^3 <= 0.

[Olympus]

Il faut montrer que si P(x,y,z) = (x²+y²+z²)(x+y+z)-2xyz ;
x²+y²+z² = 2 implique P(x,y,z) <= 4.

Or, (-x)²+(-y)²+(-z)² = x²+y²+z², et P(-x,-y,-z) = -P(x,y,z).

Donc tu ne perds rien à vouloir montrer que -4 <= P(x,y,z) <= 4,
C'est à dire (P(x,y,z))² <= 16.

Et là on peut s'affranchir de x²+y²+z² = 2 :

Le problème équivaut donc à montrer que pour tout x,y,z,
((x²+y²+z²)(x+y+z)-2xyz)² - 2(x²+y²+z²)^3 <= 0.

Merci beaucoup ! :we:

Je vais essayer maintenant de finir avec ta méthode du fil précédent .

[Olympus]

Hum, donc il suffit de prouver que le polynôme suivant est positif :



En développant, on a :



Il s'annule en (0;0;0), (0;1;1), (1;0;1), (1;1;0), les polynômes candidats doivent donc aussi s'annuler là .

Mais le seul polynôme que j'ai pu trouver ( ou plutôt deviner hein ) c'est : :briques:

Donc ( bien noter le passage aux sommes cycliques ) :

.

Mais après, je ne sais pas trouver d'autre polynôme ...

[poiuytreza]

En fait, tu cherches un polynôme qui s'annulesi (x=y ET z=0) OU (y=z ET x=0) OU (z=x ET y=0)
Pour le trouver, tu sais que :
ssi OU
et ssi ET

A partir de là, tu peux trouver un polynôme, reste à voir si par miracle il marche.

[Doraki]

Ton Q est bon.

(pour (0,0,0) il compte pas parceque tout polynome homogène de degré > 0 s'annule dessus)

Mais par contre ton M n'est pas correct, M(0,1,1) = 0+0+1 = 1.

Tu as un terme en x^6+y^6+z^6, donc je te conseille de chercher un polynôme de degré 3 en x (x^3 + ? x² + ? x + ?), qui s'annule bien sur ces 3 points.

L'indication de poiuytreza marche aussi pour trouver, et est sans doute plus facile.

[Olympus]

Voilà je crois avoir trouvé les polynômes candidats grâce à vos conseils : et .

Donc :

.

Correct ?

EDIT : corrigé une petite faute de frappe .