Géométrie: l'aire d'un quadrilatère quelconque

[Fataly]

Bonjour, bonjour !

Aujourd'hui, le prof de maths nous a posé une colle :
Comment peut-on calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque dont les longueurs des côtés sont a,b,c et d (on dispose aussi de la diagonale e). Vous répondrez à cette question en utilisant uniquement les connaissances de 6eme, 5eme et 4ème.

Je vais avoir besoin d'aide :p, on a 2 semaines pour répondre et lui même ne connaît pas la réponse ! (Ou du moins n'y a pas réfléchi)

Je reste bloquée donc si quelqu'un a une petite idée je suis preneuse ! Je ne comprends pas comment procéder (on vient de finir pythagore).
Merci !

[beagle]

la diagonale e sépare le quadrilatère en deux triangles.
Et tu calculeras la surface des deux triangles séparémment.
c'est la moitié du rectangle dans lequel est chaque triangle.

tu mettra h1 une hauteur et h2 une autre hauteur,
cela te donnes 4 triangles rectangles où tu feras du Pythagore avec des e1 et e2 qui forment e pour un des triangles,
e3 et e4 qui forment e de l'autre traingle.

pythagore dans tout cela, supprimer les inconnues e1 et e2 par petit système.

à l'arrivée avec des racines carrées, cela doit donner un truc atroce de chez moche mais avec du a, b,c,d,e,

et enfait j'espère que c'est pas cette méthode là, tu vois...
donc désolé.

[Lostounet]

Plusieurs méthodes me viennent à l'esprit...

Une méthode très collège (peu fiable): on essaye de tracer le quadrilatère aussi bien que possible, on le divise en deux triangles, on mesure les deux hauteurs et on utilise Bxh/2

Méthode 2: on essaye d'appliquer pythagore plusieurs fois pour trouver un système d'équations... Je vais voir comment.


Méthode 3 (fiable!): On divise le quadrilatère en deux triangles, et on applique deux fois la formule de Héron d'Alexandrie pour trouver l'aire de chacun: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron

Méthode 4: On peut parfois utiliser la formule de Brahmagupta, si on peut inscrire le quadrilatère dans un cercle: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Brahmagupta

[Fataly]

Super merci ! La méthode 2 m'intéresse plus parce que les deux autres sont pas vraiment dans notre programme et la 1ère est complexe si on a pas de longueurs données c'est pas vraiment possibles de mesurer. Donc si tu as une piste je prends ! En plus j'imagine que l'on doit donner la réponse sous forme d'une expression simplifiée.

[Lostounet]

La formule de Héron peut être montrée avec Pythagore, c'est je pense la formule la plus rapide pour trouver l'aire d'un triangle... À partir des cotés!

[Fataly]

Merci mais je ne vois pas du tout comment démontrer simplement cette formule avec mes acquis. Après je peux toujours faire une expression avec Pythagore...

[siger]

bonjour,

le fait de connaitre la longueur d'une diagonale fait pencher du cote de la formule de Heron
regarde " formule de Heron" sur Wikipedia et tu verras que la démonstration en est simple " mathematiquement"!!! a la portee d'un eleve de 4ème, je pense

[Fataly]

Bonjour, la formule de Héron me semble aussi adaptée mais comme on ne l'a pas vu, j'imagine que si je l'utilise je dois savoir la démontrer avec mes connaissances ce qui est moins simple. :hum:
Merci.

[mouette 22]

Bonjour, la formule de Héron me semble aussi adaptée mais comme on ne l'a pas vu, j'imagine que si je l'utilise je dois savoir la démontrer avec mes connaissances ce qui est moins simple. :hum:
Merci.

... surtout qu' on te demande d'utiliser tes connaissances de 6ème , 5ème et 4ème . Maintenant si tu utilises la formule de H. et si tu es capable de bien gérer ta réponse pourquoi pas ! :lol3:

[siger]

Bonjour, la formule de Héron me semble aussi adaptée mais comme on ne l'a pas vu, j'imagine que si je l'utilise je dois savoir la démontrer avec mes connaissances ce qui est moins simple. :hum:
Merci.

Ne connaissant pas suffisamment les programmes je ne peux pas te conseiller utilement .......

mais si tu regardes la demonstration sur Wikipedia tu verras qu'il faut connaitre:
la formule d'Al Kashi a²= b² + c² - 2ab cos(BAC)
l'expression du l'aire d'un triangle en fonction de l'angle de 2 cotes aire = (1/2)bc*sin(BAC)
la formule de base de trigo:sin² + cos² =1
......
et ne pas se tromper dans les calculs^^

[beagle]

Sinon on peut avoir une formule vraiment très moche, pire qu'un héron déplumé.
j'ai effacé le début du calcul hier soir car je trouve cela horrible.
Mais ce n'est que du Pythagore et de la petite résolution de système d'équation.

la diagonale e sépare deux triangles et on calcule leur surface.
avec du Pythagore et en décomposant e en e1 et e2 (et e3et e4, mais c'est symétrique, autant se faire ch..r sur un seul coté) au niveau du point de rencontre de la hauteur sur la diagonale.
alors on a deux trinagles rectangles, du Pythagore, du e= e1+ e2,
on arrive avec h^2= Pythagore d'un coté puis de l'autre coté l'autre triangle rectangle,
on arrive à virer les e1 et e2,
avec une formule atroce mais que les lettres abcde...

et comme la formule sert juste à dire que l'on peut exprimer l'aire, tant pis si elle est moche, l'exo est exécuté, fusillé...Et cela permet de faire de l'anglais parce que les devoirs ne sont terminés non plus...

[chan79]

Salut
Je crois qu'en 4°, on voit Pythagore
Avec les notations du dessin:


donc

soit

Comme , on a le système




donc

donc

l'aire de ABC est

**********************************************************

En triturant cette égalité, on arrive à la formule de Héron d'Alexandrie, ce qui est bien prévisible.

On factorise sous la racine et on fait rentrer e/2









Si on pose

l'aire du triangle est
La formule obtenue est plus belle que la formule précédente mais pas beaucoup plus simple, vue l'introduction de p

Il y a sans doute mieux que ça pour démontrer la formule de Héron

[beagle]

voui, ton x et y étaient mes e1 et e2,
et l'écriture était moins économique que la tienne,
tel que écrit par Chan cela parait se faire en souplesse ...
mais c'est cela du Pythagore et un système à résoudre, une exo type pour le collège,
on va remonter PISA nom de dieu...

[chan79]

voui, ton x et y étaient mes e1 et e2,
et l'écriture était moins économique que la tienne,
tel que écrit par Chan cela parait se faire en souplesse ...
mais c'est cela du Pythagore et un système à résoudre, une exo type pour le collège,
on va remonter PISA nom de dieu...

ah, j'avais pas vu ton post ... donc on a eu la même idée
Rien à voir, mais je viens de donner un cours particulier à un élève de 2nde; pour calculer 1-3, il prend la calculatrice; il paraît que c'est le cas de beaucoup d'élèves ... pour PISA, on est mal

[Fataly]

Merci à vous tous de vous êtes retournés les neurones pour moi, vos réponses sont super claires, je vous tiens au courant une fois la réponse rédigée ! :we: