Décomposition d'un nombre en facteurs premiers

par **laurents** » 24 Sep 2009, 05:58

Bonjour,

je voudrais démontrer simplement que dans une décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers sont forcément inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre initial : ça me paraît évident, mais je ne sais pas comment le démontrer.

par **beagle** » 24 Sep 2009, 08:44

je ne suis pas sur de bien comprendre.
Cela donne quoi avec 15=3x5

par **Benjamin** » 24 Sep 2009, 09:03

Bonjour,

Le résultat avec racine carré et nombre premier n'est pas celui. C'est que si un entier p n'a aucun diviseur premier dans [| 2 ; [sqrt(p)] |], alors p est premier.

par **laurents** » 24 Sep 2009, 09:04

Cela voulait dire qu'il fallait arrêter les tests à sqrt(15), soit 3 et des brouettes, mais comme il y a un nb premier supérieur (5), je pense que finalement, c'est indémontrable, bien que ce soit suffisant (http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=6122 ). Es-tu d'accord ?

par **Benjamin** » 24 Sep 2009, 09:07

3 est un diviseur premier de 15, 3 est bien inférieur à sqrt(15), et en effet, 15 n'est pas un nombre premier.

par **beagle** » 24 Sep 2009, 09:17

je suis désolé, je n'ai toujours pas compris la question initiale,
5 est bien un nombre premier de la décomposition de 15 et est supérieur à racine carré de 15.

par **laurents** » 24 Sep 2009, 10:27

Benjamin a mal compris ma question ; ma question concernait la décomposition d'un nb en facteurs premiers, et ici , ils disent bien de s'arrêter à la racine carrée, mais j'ai compris qu'on n'avait forcément tous les nbs premiers diviseurs inférieurs à cette racine carrée, mais que la méthode permettaient de tous les trouver (s'il y en a qui sont supérieurs à la racine, ils sont forcément le prd par un nb premier inférieur à la racine, comme par exemple 5 qui est le prd de 3, inférieur à sqrt(15)), mais cela semble bien sûr indémontrable.

par **beagle** » 24 Sep 2009, 11:03

toujours pas compris ce qui est recherché:
pour : 2294=2x31x37 tu veux montrer quoi?
qu'il existe au moins un inférieur au carré?

si c'est un rectangle lxL de deux premiers comme 3x5=15
normal de trouver pour un carré de mème surface 15, un coté c qui sera sup à l et c inf à L
si cela dépasse 3 premiers, alors s'ils sont tous sup à c du carré on va avoir un parallépipède dont les faces sont déjà sup au carré,...

cela ressemble à cela ton problème?

par **laurents** » 24 Sep 2009, 11:43

En fait, ds le site que je mentionne, ils disent qu'on peut arrêter de tester les nbs premiers à sqrt(N). Donc, pour 2294 à 47,8... et pour 15 à 3,8.... Ds les 2 cas, on trouve ts les premiers diviseurs :pour 2294, ils sont tous inférieurs à la racine, et pour 15, il y a 5 qui est supérieur à la racine, mais on peut le trouver, car c'est le multiple de 3 qui, lui, est inférieur à la racine. Mais il s'agit d'une astuce ; ce n'est pas démontrable ; tu me suis ?

par **beagle** » 24 Sep 2009, 12:43

ton nombre est la surface d'un carré de coté c.
s'il existe deux diviseurs L et l supérieurs tous les deux à c alors Lxl est un rectancle forcément plus grand que le carré-nombre initial, déjà rien qu'avec ces deux diviseurs,...
donc s'il existe un diviseur plus grand que c, il faut que les autres diviseurs soient plus petits que c,
non?
si c'est pas en visuel, L=c+a, l=c+b,
(c+a)(c+b) sup à cxc

par **Finrod** » 24 Sep 2009, 12:56

Pour teste si un nombre est premier il suffit de vérifier si les nombre premiers inferieur à sa racine carré le divise. Cela est la contraposée de l'ennoncé suivant :

Soit n un entier naturel, si n a un diviseur premier superieur a sa racine carré alors n a un (autre) diviseur premier inferieur a sa racine carre.

La preuve de cet ennoncé est évidente: Soit p un diviseur premier de n supérieur a sa racine carré. Notons m tel que p*m=n. Alors m est inferieur a la racine carré de n (comme remarque dans le message précédant) et admet au moins un diviseur premier, lui aussi inferieur a cette racien carrée. Ce diviseur est aussi un diviseur de n, ce qui conclut la preuve.

cqfd

par **oscar** » 24 Sep 2009, 15:40

BONJOUR

THEOREME: La décomposition d'un nombre composé en facteurs 1ers n' est possible
que d' une seule façon abstraction faite de l' ordre des facteurs

Supposons que N ait été décomposé en facteurs 1ers par deux procédés differents et
qu' on ait trouvé
N = abc....l et N = a'b'c'.......l'
Ces égalités donnent abc....l = a'b'c'......l' (1)
Le facteur 1er a divisant le 1er membre de cette égalité ,divise le produit de facteurs 1ers a'b'c'...l'.Il est donc égal à l' un des facteurs de ce produit,par exemple , à a'.En divisant alors les deux membres de l' égalité (1) par a
il vient bc....l= b'c'....l'
On peut continuer d' une façon analogue:... ,on retrouvera dans le second membre tous les facteurs 1ers du 1er nombre

par **Sve@r** » 24 Sep 2009, 15:54

laurents a écrit:Bonjour,

je voudrais démontrer simplement que dans une décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers sont forcément inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre initial : ça me paraît évident, mais je ne sais pas comment le démontrer.

C'est faux. 15 = 3*5 et 5 est plus grand que la racine carrée de 15.

En fait, la bonne formulation de ce que tu sembles vouloir dire est: quand on cherche à vérifier si un nombre "n" est premier, si on n'a pas trouvé de diviseurs inférieurs à la racine carrée du nombre "n", alors il n'y en aura pas et on peut conclure que le nombre est premier.

par **laurents** » 25 Sep 2009, 21:34

Je suis d'accord que ce que je disais était faux. En fait, je ne m'intéressais pas à vérifier si un nb est premier, mais à trouver la décomposition en nb premiers de tout nb, et j'avais vu qq part qu'il suffisait de tester les nbs inférieurs à la racine carrée du nb initial : cela ne veut pas dire que tous les diviseurs de ce nb sont inférieurs à la racine carrée, mais qu'en ne testant que ceux-ci, on aura trouvé ts les diviseurs : si un diviseur est supérieur à la racine carré, il est le facteur d'un diviseur inférieur à la racine...

par **Sve@r** » 26 Sep 2009, 06:50

laurents a écrit:Je suis d'accord que ce que je disais était faux. En fait, je ne m'intéressais pas à vérifier si un nb est premier, mais à trouver la décomposition en nb premiers de tout nb, et j'avais vu qq part qu'il suffisait de tester les nbs inférieurs à la racine carrée du nb initial : cela ne veut pas dire que tous les diviseurs de ce nb sont inférieurs à la racine carrée, mais qu'en ne testant que ceux-ci, on aura trouvé ts les diviseurs : si un diviseur est supérieur à la racine carré, il est le facteur d'un diviseur inférieur à la racine...

Exactement. Et la phrase en rouge suffit à le démontrer.

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