Produit de facteurs premiers

[LukeScience]

Bonsoir,

Quelque chose m'échappe dans l'énoncé du théorème fondamental de l'arithmétique (« tout entier naturel peut être écrit comme un produit de nombres premiers [...] ») : pourquoi ne precise-t-on pas « à l'exception des nombres premiers eux-mêmes » ?

En effet, il ne s'agit pas de tous les entiers naturels.

Merci d'avance.

[Lostounet]

Hello,

Tout nombre premier est produit d'un nombre premier (lui-même) avec...rien.
De toute manière, ce théorème sert surtout au collège à décomposer des nombres non premiers.
On ne va jamais te demander de décomposer un nombre premier p en facteurs premiers.

Tu écrirais p=p...

Bref le théorème reste valable mais présente peu d'intérêt pratique.

[nodgim]

C'est sûr que dire produit, ça suppose au moins 2 facteurs. Donc le nombre premier est un cas dégénéré, un peu comme un triangle avec un angle nul.

[Romy]

Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que : "tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs." Ce résultat peut se généraliser à d'autres ensembles : les anneaux factoriels, tel celui des polynômes à coefficients dans les réels ou complexes

Existence :
1 est le produit de zéro nombre premier (un produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.
Supposons que tout entier strictement inférieur à un certain entier n > 1 est produit de nombres premiers.

Deux possibilités apparaissent pour n :
Soit n est premier, et donc produit d'un unique entier premier, à savoir lui-même, et le résultat est vrai.

Soit n se décompose sous la forme kl avec k et l strictement inférieurs à n. Dans ce cas, l'hypothèse de récurrence implique que les entiers k et l peuvent s'écrire comme produits de nombres premiers. Leur produit aussi, ce qui fournit une décomposition de n en produit de nombres premiers.
Par récurrence, tous les entiers naturels peuvent donc s'écrire comme le produit de nombres premiers.

Unicité :
La preuve de l'unicité peut être obtenue à partir du lemme d'Euclide selon lequel, si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b. Soit deux produits de nombres premiers qui sont égaux. Prenons n'importe quel nombre premier p du premier produit. Il divise le premier produit, et, de là, aussi le second. Par ce qui précède, p doit alors diviser au moins un facteur dans le second produit. Mais les facteurs sont tous des nombres premiers eux-mêmes, donc p doit être égal à un des facteurs du second produit. Les deux produits peuvent se simplifier par p. En continuant de cette manière, les facteurs premiers des deux produits coïncident précisément.

[LukeScience]

Merci aux trois !

En parcourant vos réponses, je m'aperçois qu'au fond, l'idée que les entiers naturels premiers soient eux-mêmes exclus coule de source. J'avais donc bien compris le théorème : il sous-entend cette exclusion.

Cela dit, selon les énoncés, le problème ne se pose pas : "La factorisation de tout nombre entier n > 1 en produit de nombres premiers est unique, à la permutation des facteurs près." On parle ici de "factorisation", ce qui se comprend par "quand une factorisation en produit de facteurs premiers est possible".

Merci encore et bonne fin de week-end.

[Romy]

La factorisation des entiers naturels incluant les entiers premiers et ceux non premiers est toujours possible.

[LukeScience]

Mais tout nombre premier est exclusivement divisible par lui-même et par 1. Or 1 n'est pas un nombre premier. Donc, comment un nombre premier pourrait-il être décomposé en produis de facteurs premiers, puisque ceux-ci excluent le 2 ?

[nodgim]

Si la définition te gène, on peut écrire:
Tout entier est le produit,de façon unique, de tous les nombres premiers élevés à une puissance entière.
1 = 2^0 * 3^0 * 5^0 * 7^0 * ...
2 = 2^1 * 3^0 * 5^0 * 7*0 * ...
3 = 2^0 * 3^1 * 5^0 * 7^0 * ...
6 = 2^1 * 3^1 * 5^0 * 7^0 * ....
24= 2^3 * 3^1 * 5^0 * 7^0 * ...


En fait tu peux écrire un entier comme la suite infinie des puissances des premiers, et ce de façon unique. 45 = (0,2,1,0,0,0,...)
Il ne peut pas exister 2 entiers identiques avec des codes différents.

Mais bon, l'usage veut qu'on se contente de l'expression: produit unique de facteurs premiers, y compris pour les nombres premiers qui n'ont qu'un seul facteur. Habitue toi à cette expression. Ce n'est quand même pas insurmontable à admettre ce sens qu'on lui donne. Ce n'est vraiment pas la peine de polémiquer là dessus plus longtemps.

[LukeScience]

Je vous remercie de cette dernière explication.

Je cherche à comprendre des détails comme celui-ci parce que, à un certain âge déjà, je reprends le programme de maths depuis zéro en m'attardant sur des points qui, durant ma lointaine scolarité, programme très chargé oblige, ont été passés sous silence. Désormais, je ne m'intéresse plus à apprendre des formules par coeur pour résoudre des exercices et obtenir la moyenne, mais à avoir une vision aussi globale et précise que possible du « tableau d'ensemble » des maths.

Il ne s'agit donc pas de polémique mais de curiosité.

En revanche, je suis d'accord sur le fait que nous avons fait le tour de la question, jusqu'à un certain point. Et j'accepte donc votre modération avec le sourire et une certaine sérénité que confère parfois l'âge.

Bien cordialement, et merci encore de votre aide.