Arithmétique

[oscar]

Bjr

u= 5 donne un résultat valable

[beagle]

Si 10K+1
au carré 1x1 OK 1 pour unités
en dizaines tu auras 1xK + Kx1 donc 2K

[beagle]

j'ai répondu un peu vite,
si k est de 1 à 4, alors il faut 2k=k
mais si k est de 5 à 9 alors il faut 2k=10+k

[beagle]

je n'avais pas lu toute ta démarche,
cela semble bien.
Il te manque néanmoins un chiffre pour les unités.

[beagle]

ce que j'avais mis était faux pour 4, car 4x4=16,
bon, répondu un peu vite hier.

Sinon j'ai du gros lourdingue pour trouver le a)
on veut K de 0 à 9,tel: Kcarré=10n+K,
soit k(k-1)=10n
si n=o, on cherche k(k-1)=0
si n pas 0
k(k-1)/10n=1
donc K ou k-1 multiple de 2 ou 5
K multiple de 2, il faut k-1 multiple de 5, donne K=
K multiple de 5, (K-1) sera multiple de 2, donne K=

[beagle]

on doit avoir mieux en base 5, puisque les couples corrects sont "symériques" par rapport à 5, mais là ce matin faut que j'aille jouer ailleurs,...

[Sve@r]

ce que j'avais mis était faux pour 4, car 4x4=16,
bon, répondu un peu vite hier.

Sinon j'ai du gros lourdingue pour trouver le a)
on veut K de 0 à 9,tel: Kcarré=10n+K,
soit k(k-1)=10n
si n=o, on cherche k(k-1)=0
si n pas 0
k(k-1)/10n=1
donc K ou k-1 multiple de 2 ou 5
K multiple de 2, il faut k-1 multiple de 5, donne K=
K multiple de 5, (K-1) sera multiple de 2, donne K=

Il y a bien plus simple ! Déjà, A doit être un naturel à 2 chiffres donc suffit de tester de 10 jusqu'à 99... :id:

PS: il n'y a que 2 solutions...

K multiple de 2, il faut k-1 multiple de 5, donne K=
K multiple de 5, (K-1) sera multiple de 2, donne K=

Effectivement les 2 solution que j'ai trouvées répondent à ces contraintes. Mais il existe d'autres nombres qui répondent aussi à ces contraintes mais qui ne sont pas solution (par exemple K=36 ou K=35 répondent aux contraintes mais ne sont pas solution)

Si on veut avoir une démarche mathématique pour trouver ces nombres avec certitude, il faut commencer par identifier les unités. Seules 4 unités (0, 1, 5 et 6) donnent la même unité élevée au carré.
Ensuite, on ce concentre sur l'écriture de A qui pourra être
u=0 et A=10d => son carré sera 100d²
u=1 et A=10d + 1 => son carré sera 100d² + 20d + 1

u=5 et A=10d + 5 => son carré sera 100d² + 100d + 25

u=6 et A=10d + 6 => son carré sera 100d² + 120d + 36

On n'a donc plus aucun mal à trouver d dans 2 des 4 cas (les 2 autres donnant d=0 ou d=1/10 ce qui ne correspond pas à l'énoncé d'un nombre naturel à 2 chiffres)

[beagle]

Mon ambition, limitée ce matin, était de répondre mathématiquement à la recherche du a), de la première question, donc,
donc j'avais K de 0 à 9,
le carré de K doit se terminer en unité par K

il y a 4 solutions qui répondaient
k(k-1) donc k=0, ou k=1

ou à multiple de 2 ou de 5 QS
k multiple de 2 alors k-1=5 donne K=6
k multiple de 5 alors K=5 (k-1 pair vérifié mais n'avance pas le calcul)

J'avais prévenu, c'est lourdingue, parce que cela n'est pas plus rapide que la recherche bestiale de 0 à 9,

bon, enfin, il manque quand mème à Mélusine le zéro.

[Sve@r]

peux-tu développer pour me dire comment tu arrives à d=1/10?
merci

u=0 et A=10d => son carré sera 100d²
J'ai raisonné en disant que le chiffre des dizaines est le même donc 100d²=10d donc 100d=10 donc d=1/10. Mais je réalise que j'ai fait une erreur car 100d² ne donne pas une dizaine mais une centaine.
Donc rectification: avec u=0, quel que soit d différent de 0, A² donne d=0 et son chiffre des dizaines ne peut pas correspondre à celui de A qui est différent de 0 donc u=0 ne peut pas convenir.

[beagle]

j'avais répondu pour 1, à une imprécision près c'était valable.

Pour 1, ton nombre s'écrit 10k+1
avec K de 1 à 9
cela donne 100kcarré + 2x10k + 1
1 en unité, OK
100kcarré est dans les centaines

restent 2x10K
c'est aussi 10x2k
donc on a en dizaines 2k
Et on veut que cela soit le k de dizaines de départ
donc on veut 2k=k
mais attention on veut en fait plus précisément 2k=10n+k
k=10n
cela marche pour 0 ou 10,or K est de 1 à 9

[beagle]

en fait si 2x7= 14
on a une retenue, un nouveau paquet de 10 de formé
donc je ne cherche pas seulement si
2x7=7
mais si 2x7=17

comme K va de 1 à 9
j'aurais pu ètre plus restrictif
2k=k c'est pour les recherches genre 2x3=nombre 1 chiffre
et
2k=10+k, c'est pour rechercher si 2x8=10+8

j'ai remis 2k=10n+k
car hier il y avait possiblité de plusieurs paquets de 10 en retenue,
exemple 6x6=36
cela se termine bien par 6,
mais il aurait été faux de chercher 6X6=6 quand on cherchait la question a), quel carré redonne mème unité.

Les paquets de 1O dans des dizaines, sont des centaines, bien sur,...

[Sve@r]

Ok merci, en fait je voulais surtout le développement pour u=1...
Quand on remplace u par 1 dans l'équation de départ cela donne :
100d² + 20d + 1 = 1000m + 100c + 10d + 1
100d² + 10d = 1000m + 100c
10d² + d = 100m + 10 c
10 (d² - 10m - c) = d
Que fait-on avec ça? quelle est la conclusion à tirer?

u=1 et A=10d + 1 => son carré sera 100d² + 20d + 1
Le chiffre des dizaines devant être identique pour A et A² donne donc 10d=20d donc d=0 => Le chiffre des dizaines est bien identique mais à 0 et A est alors réduit à un nombre à un chiffre ce qui ne convient pas non plus

[beagle]

bonsoir Sve@r,
je persiste à croire qu'il est dangereux de faire la déduction suivante
20d=10d
donc d=0,

c'est périlleux car si le fait de gagner une ou des dizaines permettait l'égalité sur l'unité (ici de dizaines), on peut avoir de fausses-vraies inégalités.

admettons que je trouve après une équation
6x10d=10d
il est faux de dire que alors d=0
pour d= 6, nous aurons 360 mème dizaine que 60
donc donc on a bien d=6 qui satisfait avoir mème dizaine.

[Sve@r]

bonsoir Sve@r,
je persiste à croire qu'il est dangereux de faire la déduction suivante
20d=10d
donc d=0,

c'est périlleux car si le fait de gagner une ou des dizaines permettait l'égalité sur l'unité (ici de dizaines), on peut avoir de fausses-vraies inégalités.

admettons que je trouve après une équation
6x10d=10d
il est faux de dire que alors d=0
pour d= 6, nous aurons 360 mème dizaine que 60
donc donc on a bien d=6 qui satisfait avoir mème dizaine.

En règle générale, t'as absolument raison (et ton exemple le prouve). Mais dans ce cas précis, avec 20d=10d, aucun d de 0 à 9 ne marche, même en travaillant modulo 100. C'est pourquoi, pour u=1, il n'y a pas de possibilité.
Ne reste que u=5 et u=6...

[beagle]

On peut s'en tirer également grace au a), la première question,
On a appris que
dxd=d est vérifié pour 0, 1, 5, 6

donc 5d=d accepte 0 et 5 comme solution
6d=d accepte 0 et 6

si on trouve 20d=10d,
c'est 2d=d, pas de solution sauf 0

mais si on avait obtenu 60d=10d
ou 50d=10d,
alors on avait 0 et 6 ou 5 comme solution aussi.