Exercice d'arithmétique sur les nombres entiers

[pvol]

Bonjour,

J'ai décidé de retravailler mes maths en repartant loin en arrière, avec les premiers cours de secondaire. L'objectif de ce retour aux sources est de m'assurer que je ne conserve pas trop de lacunes avant de m'attaquer à des matières plus avancées. Pour l'arithmétique, j'ai trouvé des exercices sans corrigés que j'aimerais réaliser.

Est-ce une pratique admise sur le forum d'en faire des sujets en donnant l'énoncé et juste la solution, sans les étapes intermédiaires? J'espère ainsi m'assurer auprès de participants routinés que je n'ai pas fait d'erreur tout en partageant des idées d'exercices avec d'autres étudiants.

Voici un exemple:

Enoncé:
La pagination d'un dictionnaire a nécessité l'utilisation de 3.897 caractères. Quel est le nombre de pages de ce dictionnaire?

Ma solution:
1.260 pages.

Bonne soirée,
pvol

[Lostounet]

Bonjour Pvol,
Bienvenue sur maths-forum !

Il est tout à fait possible de proposer des énoncés et de donner des réponses que tu trouves (ce qui n'est pas très bien vu est de donner des solutions non expliquées à des devoirs scolaires, pour les autres intervenants). Bien entendu, il peut être tout aussi intéressant de proposer une solution plus détaillée pour que les autres comprennent comment tu as procédé, mais cela est facultatif...

[pvol]

Bonsoir Lostounet,

Merci pour l'accueil et pour tes indications. J'indiquerai aussi mes solutions détaillées, dans ce cas. Mais peut-être de manière différée, au cas où quelqu'un aurait envie de s'essayer à ces problèmes.

pvol

[Lostounet]

Si le livre faisait plus de 10000 pages, on aurait eu besoin (entre 5000 et 10000 non compris il y a 5000 nombres donc on a besoin de 15000 caractère c'est trop. On peut donc se dire que le livre contient raisonnablement au plus 9999 pages !

Cela signifie que si x est le nombre de pages, sachant que pour compter jusqu'à 1000 nous avons besoin de:
9 chiffres (1 à 9)
180 chiffres (10 à 99)
2700 chiffres (100 à 999)

Cela fait 2889 caractères. Au delà de 999, on a 4 caractère par page ! Si x est le nombre de pages, on a:

3897 - 2889 = 1008

1008/4 = 252

Cela fait donc 999 + 1008/4 = 1251 pages

[pvol]

Bonjour,

Je n'ai vraiment pas été attentif... Mon erreur est à la dernière étape. Au lieu d'additionner 252 à 999, je l'ai ajouté à 1008. D'où les neuf unités de différence pour ma réponse initiale.

Merci!

Pvol

[pvol]

Bonjour,

Je poursuis mon dérouillage arithmétique avec quelques problèmes du début du cycle secondaire, trouvés dans un (très) vieux manuel.

Enoncé: on écrit la suite naturelle des nombres 1, 2, 3 ... Quel est le 427e chiffre écrit?

Cordialement,

Pvol

Ma proposition de solution:

De 1 à 9, il y a 9 chiffres.
De 10 à 99, il y a 180 chiffres.
De 100 à 199, il y a 300 chiffres.

Estimation de la fourchette: entre 1 et 99, il y a 189 chiffres. Entre 1 et 199, il y en a 489. Le nombre comprenant le 427e chiffre sera supérieur à 99 et inférieur à 199 et il sera composé de trois chiffres.

Au-delà du nombre 99, il reste 427 - 189 chiffres disponibles, soit 238.

238:3 = 79,33 c'est-à-dire 79 nombre complets, composés de 79 x 3 = 237 chiffres. Il reste un seul chiffre disponible.

99 + 79 = 178. Le premier chiffre du nombre suivant (179) est le chiffre 1. C'est le 247e chiffre de la suite de nombre naturels donnée dans l'énoncé.

[chan79]

C'est bien ça.
Evidemment, ça peut se programmer pour des rangs beaucoup plus grands.

[pvol]

Oui, ce serait un autre exercice mais tout aussi intéressant, de généraliser la solution pour n'importe quel rang.

A l'occasion, je vais me tester là-dessus et voir si je suis capable de mettre ça dans un bout de code ou, au moins, dans du pseudocode...

Pvol

[pvol]

Bonsoir,

Evidemment, ça peut se programmer pour des rangs beaucoup plus grands.

Je me suis risqué à l'exercice. J'ai créé un petit "programme" qui calcule la suite de nombres entiers naturels que l'on peut former avec un nombre de chiffres donné.

Voici une copie d'écran du genre de résultat que l'on peut obtenir. J'ai utilisé quelques valeurs différentes, y compris celles qui ne sont pas autorisées dans mon programme:

Image

Python serait certainement idéal pour ce type de programme mais je ne m'y intéresse que depuis quelques semaines. Le code est en javascript et je l'exécute avec node.js.

Pvol

[chan79]

salut
tu n'as pas mis ton algo
Sinon, avec python:

[nodgim]

Sur quel nombre tombe le milliardième chiffre ?

[pvol]

Sur quel nombre tombe le milliardième chiffre ?

Je trouve 211.111.111

[pvol]

tu n'as pas mis ton algo

Le voici.

Wow, ton code Python est incroyablement plus compact que ma longue tartine!

Pvol

[nodgim]

Sur quel nombre tombe le milliardième chiffre ?

Je trouve 211.111.111

Mince, à la main je ne trouve pas la même chose : 123.456.789.
Je suis passé pourtant par ce nombre 211 111 111 0 que j'ai divisé par 9.

[pvol]

Mince, à la main je ne trouve pas la même chose : 123.456.789

J'essaie de comprendre. Je trouve exactement ce nombre (123.456.789) avec comme nombre de chiffres 999.999.999

Si tu as regardé les quelques essais réalisés avec le code, que j'ai posté en image, ça me semble correct. Cependant, tu a mis le doigt sur un problème qui m'avait échappé et qui se pose même avec des nombres plus petits. A première vue, cela arrive lorsque je change de rang (exemple de 99 à 100 ou, dans ton exemple, de 999.999.999 à 1.000.000.000.

Je m'y replonge

[chan79]

tu n'as pas mis ton algo

Le voici.

Wow, ton code Python est incroyablement plus compact que ma longue tartine!

Pvol

oui, mais c'est pas un programme très "intelligent"; il écrit les nombres les uns après les autres et passe en revue les chiffres un par un jusqu'à temps d'arriver au rang voulu. Il lui faut environ 9 min pour trouver que le milliardième chiffre est 1
Pour le 46374641 ième, il trouve 7 (il faut une vingtaine de secondes)

[nodgim]

@ pvol: si tu tombes sur 123 456 789 avec 999 999 999 chiffres, c'est peut être que tu ne tiens pas compte du zéro ?

[nodgim]

En effet c'est bien ça, pvol ignore le zéro initial. D'où le décalage que je trouve pour le 46374641 ième chiffre, que je vois en 5ème (6ème si 0 ignoré) position dans le nombre 6783677.

[pvol]

@ pvol: si tu tombes sur 123 456 789 avec 999 999 999 chiffres, c'est peut être que tu ne tiens pas compte du zéro ?

Oui, c'est une piste à vérifier. Je vais essayer de trouver un peu de temps au calme ce soir pour regarder ça convenablement.

En deux mots, mon code fonctionne comme ceci: je prends le plus grand rang juste en dessous du nombre (par ex pour 1.000, c'est 100 à 999). Je fais une boucle qui calcule le nombre de chiffres pour ce rang et pour tous ceux qui sont inférieurs et je les additionne. Ensuite je m'occupe du "solde" s'il n'est pas nul) et j'additionne ce dernier résultat au total des rangs inférieurs.

Je vais essayer de trouver ce qui coince.

En attendant, j'en profite pour poster ceci: en plus de chercher la série de nombre entiers que l'on peut former avec un nombre de chiffres donnés, j'ai aussi fait l'inverse. En partant d'un nombre, combien faut-il de chiffres pour réaliser la suite de 1 jusqu'à ce nombre. A l'inverse de l'autre programme, j'ai limité celui-ci à un maximum de 10 millions de chiffres. Sinon c'est vraiment trop long. Mais si on n'est pas pressé, il suffit de commenter une ligne et la contrainte disparaît.

Voilà le genre de résultats:



et voici le code.
Pvol

[pvol]

En effet c'est bien ça, pvol ignore le zéro initial.

J'ai décidé de repartir de zéro et d'utiliser une méthode légèrement différente pour l'algorithme. Voici la base sur laquelle j'ai essayé de raisonner. Vous pourrez peut-être me dire si cela tient la route.

Les nombres sont décomposés de la manière suivante:
De 1 à 9 chiffres, il y a un delta (un nombre de chiffres) de 9. On peut composer 9 nombres.
De 10 à 99 il y a un delta de 90. On peut composer 45 nombres.
De 100 à 999 il y a un delta de 900. On peut composer 100 nombres.
De 1.000 à 9.999 il y a un delta de 9.000. On peut composer 2.250 nombres.

On procède en deux étapes:
Etape 1: on prend le rang directement inférieur au nombre de chiffres donné et on calcule le nombre maximum que l'on peut composer avec ce rang.
exemple: pour 10.034 chiffres, le rang maximum directement inférieur est 9.999 et il permet de composer le nombre 2604.

Etape 2: on calcule le solde et le reste de chiffres éventuel.
Pour le même nombre de chiffres donné, le solde est 10.034 - 9.999, soit 35 chiffres, permettant de composer le nombre 7 pour ce rang à 5 chiffres.
Le nombre possible avec 10.034 chiffres est donc 2604 + 7 soit 2611 et il n'y a pas de reste de chiffres.

Mon souci: pour la valeur 1.000.000.000 proposée par nodgim, je ne trouve pas 123.456.789 comme il l'indiquait par sa méthode manuelle mais 112.706.318 (et un reste de 1 chiffre).

Revoici le lien vers le code modifié. J'ai laissé les nombreux affichages intermédiaires qui permettent de suivre et vérifier les étapes de chaque calcul.

Pvol