Dm 3eme sur la légende de Sessa

[Ericdefaria]

En Inde, une légende vieille de 1500 ans raconte comment un Brahmane (membre d’une
caste religieuse) du nom de Sessa fut récompensé pour avoir inventé le jeu d’échec.
Le roi des Indes fut tant émerveillé lorsque Sessa lui apprit le jeu que le roi lui proposa de choisir
la récompense qu’il souhaitait.
Le Brahmane demanda alors la quantité de grains de blé qu’il serait nécessaire pour remplir les 64
cases d’un échiquier en respectant la condition suivante, chaque case doit contenir deux fois plus
de grains de blé que la précédente sachant que la première case ne contient qu’un seul grain.
Soit : 1 grain de blé sur la première case
2 grains sur la seconde
4 grains (soit 2 fois 2) sur la troisième
8 grains (2 fois 2 fois 2) sur la quatrième
16 grains (2 fois 2 fois 2 fois 2) sur la cinquième etc ...
Le roi accepta la demande de Sessa en se disant que celle-ci était plutôt modeste.
Mais lorsqu’un arithméticien résolut le problème, le roi se rendit compte que le Brahmane l’avait
dupé et que la quantité de grains de blé qu’il demandait était impossible à fournir.
1) a) Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ?
b) Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l’échiquier ? Donner le résultat
comme somme de puissances de 2. On pourra utiliser des « … » pour ne pas écrire tous les
termes.
2) a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies : 1 + 2 = 2^2 - 1
1 + 2 + 2^2 = 2^3 - 1
1 + 2 + 2^2 + 2^3 = 2^4 – 1
b) En fait, cette formule est vraie pour tout entier n : 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2^n-1 = 2^n – 1
Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 1) b).
c) En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout
l’échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
d) La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte 264. Mais il est possible d’obtenir
celle de 232.
A l’aide de ce résultat et d’une « belle » multiplication à poser, prouver que la quantité exacte de
grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615.

[titine]

Qu'as tu fait ?
Es tu sûr de la 1ere question ?
Ce n'est pas plutôt 2^3 ? 2^8 ? 2^31 ?

[pascal16]

pff, la génération de prof ESPE qui ont tous les mêmes exo qui n'apportent pas grand chose au niveau où ils sont faits.

[lyceen95]

Et idem pour la question 2d), il ne faut pas lire 232 et 264 mais 2^32, et 2^64.