Une question de géométrie: cercle tangent par un point

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Cela fait longtemps que je n'ai pas posté. Vous m'avez manqué.
Je voudrais vous demander une aide sur un problème rencontré sur Euclidea.



Il s'agit de trouver le cercle tangent aux deux droites sécantes et qui passe par le point indiqué.

Les seuls outils autorisés sont la règle, le compas (on peut tracer des perpendiculaires, parallèles ou des médiatrices accessoirement).



Je n'y suis pas trop arrivé. J'ai vu une solution ici https://www.youtube.com/watch?v=gav7b6lt1ek mais j'ai du mal à comprendre: on dirait qu'il recherche un triangle dont les pieds des hauteurs sont le point de tangence ? Mais je vois pas trop comment il a trouvé ça:


Si vous avez une explication ou même une autre démarche, je suis preneur.

[azf]

Salut

Ah oui c'est génial (et merci de me l'avoir fait connaître car franchement c'est trop génial)



je pense que la figure est explicite

[azf]

une autre plus explicite

[azf]

une dernière encore plus jolie et explicite (je vais la placer dans mon cahier)



la démo n'est pas méchante à faire

[azf]

Bon alors pour les détails techniques elle est évidemment constructible par compas non verrouillable seul

Théorème de Mohr-Mascheroni

Évidemment c'est monstrueux à faire et ça devient illisible d'où l'intérêt de la faire comme ça

par exemple le Joli problème de Napoléon (qui en fait est de Mascheroni)

oui franchement c'est "monstrueux" avec ce type de compas pour seul outil



ici les droites sont tracées pour visualiser la chose mais tout est construit au compas non verrouillable

Par chance ce théorème nous permet de nous dire que c'est faisable sans avoir à le faire

Pour les détails algébriques: la démonstration est facile

[Lostounet]

une dernière encore plus jolie et explicite (je vais la placer dans mon cahier)



la démo n'est pas méchante à faire

Merci beaucoup pour ces figures et tous ces détails. C'est un peu plus clair mais pas encore tout à fait limpide pour moi désolé.

Pourrais-tu détailler un peu plus les première étapes de la construction du cercle bleu ? Quel est son diamètre ?
Aurais-tu quelques précisions sur les étapes du raisonnement qui poussent à partir dans cette direction ?

Désolé si je rate une évidence mais je suis un peu rouillé en géométrie.

Merci encore!

[azf]

Pourrais-tu détailler un peu plus les première étapes de la construction du cercle bleu ? Quel est son diamètre ?

La construction n'est pas faite à la règle graduée
On ne peut donc pas parler de diamètre
Quand au report de distance effectuée ici, il est compatible avec le compas non verrouillable mais je ne le fais pas car "c'est monstrueux"
En fait la construction est Mohr-Mascheroni compatible
Donc en détail ça donne ceci












pour le reste c'est moi qui te remercie et aussi celui qui a posté la vidéo car je ne connaissais pas cette construction là (précisément)

[Ben314]

Salut,
Concernant ce probleme, la solution la plus facile a trouver consiste a commencer par tracer un cercle quelconque tangeant aux deux droites (et dans le meme secteur que le point) puis a chercher les rapports d'homotheties (de centre l'intersection O des deux droites) qui envoie le cercle sur un cercle passant par le point.
C'est pas forcement le plus rapide en terme de construction, mais le raisonnement est basique.

[azf]

sinon après pour la démonstration algébrique
on peut raisonner en coordonnées barycentriques normalisées par rapport à ABC
i.e. la somme des coordonnées barycentriques d'un point est normalisée (i.e. de valeur 1)
A est connu puisqu'on va poser qu'il est le point d'intersection des deux demi-droites
B et C sont posées comme deux inconnues du problème
mais on connait leur coordonnées barycentriques normalisées (donc on s'en fout)
le point D par lequel passe le cercle à construire
ce cercle sera le cercle inscrit du triangle ABC
alors les coordonnées trilinéaires du point D seront

selon la convention conventionnelle pour l'écriture des angles intérieurs d'un triangle ABC
angle intérieur en A
angle intérieur en B
angle intérieur en C

puis on bosse en bary car c'est plus commode (en tout cas mon avis)

[azf]

étourderie celles-là sont en coordonnées triliénaires

il faut traduire ça en bary

[azf]

celles-là sont en coordonnées triliénaires
il faut traduire ça en bary

donc en traduction (puisqu'on fait tout en bary normalisées
on pose a=BC,b=CA,c=AB
pour avoir les normalisées il faut poser

alors

évidemment on se fiche pas mal de ne pas les connaître les distances a,b,c (ça n'a aucune importance pour la démo)
elles disparaîtront dans la dernière égalité à vérifier dans la démo

[azf]

Donc pour conclure avec la démo on se basera sur ça



bon après c'est chacun qui va la faire à sa façon (c'est juste une proposition de démo à faire comme ça mais c'est peut être la plus naze lol)

[azf]

Pour répondre à ta question Lostounet plus haut les images (des étapes de la construction) sont un peu longues à charger (il y en a 12)
je ne les aies pas formatés avant de les poster et j'ai vu qu'elles passent comme ça (mais c'est vrai qu'elles sont un peu longues à charger)
Si tu ne les a pas, je les reformaterai (ça prend deux minutes)

[azf]

chez moi un coup sur deux il y en a qui ne passent pas je crois que le mieux est de la donner comme ça en description littérale

Les données:
A le point sécant de deux demi-droites d1 et d2
D le point appartenant au cercle que l'on cherche à construire

La construction:
1.On trace la bissectrice intérieure b en A du triangle (dont le côté opposé à A portera D ) formé des deux demi-droites d1 et d2
et d'une droite sécante à d1 et d2 et passant par D (cette droite là portant D n'est pas unique et de fait ne sera pas nommée car elle est inutile dans la construction: elle est juste là pour savoir de quelle bissectrice on parle quand on n'a pas d'image décrivant la construction)
2.On trace la perpendiculaire c à b passant par D
3.E le point d'intersection entre b et c
4.On trace la demi-droite z d'origine E passant par D
5.la demi-droite z est sécante à une des deux demi-droites d1 ou d2
Cette demi-droite d1 ou d2 sera appelée di et l'autre demi-droite sera appelée dj
6.Fi l'intersection de c et di
7.Fj l'intersection de c et dj
8.On considère le segment "si" de sommets E et Fi
9.On considère le segment "sj" de sommets E et Fj
10.On trace le cercle m de centre E avec un compas dont l'écartement est de la distance DFi
11.G l'intersection de m et du segment sj
12.On trace le cercle de centre D passant par G
13.On considère le segment s de sommets A et E
14.H l'intersection de m et s
15.On trace la perpendiculaire p à b passant par H
16.On trace la perpendiculaire q à c passant par Fi
17.I l'intersection de p et q
18.On trace le cercle n de centre Fi passant par I
19.On considère le segment t de sommets A et Fi
20.J intersection de t et n
21.On trace la perpendiculaire r à di passant par J
22.K l'intersection de r et b
23.Le cercle recherché est de centre K passant par D

[Ben314]

Ça me semble bien compliqué votre truc . . .
Avec les mêmes notations :
A le point sécant de deux demi-droites d1 et d2
D le point appartenant au cercle que l'on cherche à construire.

1) On construit un cercle C1 tangent aux deux demi droites :
a) On trace un cercle C0 de centre A et de rayon quelconque qui coupe d1 et d2 en M1 et M2.
b) On trace les perpendiculaires à d1 et d2 passant respectivement par M1 et M2.
Elles se coupent en O1
c) On trace C1 centré en O1 passant par M1.

2) On cherche alors les homotheties h centrées en A telles que D soit sur h (C1). Le point D1 de C1 dont l'image par h est D doit etre situe sur la droite (AD) : On trace cette droite et on choisi pour D1 un des deux point d'intersection de la droite avec C1. L'image de O1 par cette homotheties est alors l'intersection de (AO1) avec la parallèle à (O1D1) passant par D.

[azf]

Ah bah oui le reflexe que j'ai manqué!!!

deux demi-droites ----penser à -----> homothétie

1) On construit un cercle C1 tangent aux deux demi droites :
a) On trace un cercle C0 de centre A et de rayon quelconque qui coupe d1 et d2 en M1 et M2.
b) On trace les perpendiculaires à d1 et d2 passant respectivement par M1 et M2.
Elles se coupent en O1
c) On trace C1 centré en O1 passant par M1.

2) On cherche alors les homotheties h centrées en A telles que D soit sur h (C1). Le point D1 de C1 dont l'image par h est D doit etre situe sur la droite (AD) : On trace cette droite et on choisi pour D1 un des deux point d'intersection de la droite avec C1. L'image de O1 par cette homotheties est alors l'intersection de (AO1) avec la parallèle à (O1D1) passant par D.

Oui c'est encore plus simple (et même ça va simplifier la démo)

Merci Ben 314 donc du coup dans la figure ci-dessous selon tes notations C1 est le cercle vert



image sous réserve de l'hébergeur d'image que j'utilise mais qui m'a l'air de déconner

[Lostounet]

Salut,
Concernant ce probleme, la solution la plus facile a trouver consiste a commencer par tracer un cercle quelconque tangeant aux deux droites (et dans le meme secteur que le point) puis a chercher les rapports d'homotheties (de centre l'intersection O des deux droites) qui envoie le cercle sur un cercle passant par le point.
C'est pas forcement le plus rapide en terme de construction, mais le raisonnement est basique.

Merci beaucoup Ben !! Au top comme toujours...
Cette piste m'a permis d'avoir le bon point de vue. J'aurais dû y penser.

J'ai tracé un cercle tangent quelconque puis j'ai trouvé le "représentant" du point donné sur ce cercle. J'ai ensuite mené une parallèle qui m'a permis de trouver le centre du cercle demandé.

Merci également à Azf pour les détails et les belles figures.