Tour de magie et probabilités

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Elias
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tour de magie et probabilités

par Elias » 05 Jan 2018, 16:48

Salut à tous,

vous connaissez peut être ce tour de magie : on choisit dans un jeu de 52 cartes uniquement les cartes dont la valeur est un entier compris entre 1 et 6.
Donc on prend les 4 as (coeur, carreaux, pique, trèfle), les quatre "2", les quatre "3" etc jusqu'à les quatre "6".
Cela fait 24 cartes au total.

On mélange le paquet obtenu et on dispose ensuite ces cartes sous la forme d'un circuit comme présenté ci-dessous.
Image

Donc là, on a commencé par poser l'as de coeur puis le 2 de pique etc jusqu'à la 24ème carte qui est le 4 de pique.

On prend maintenant un pion (que l'on peut attraper dans un jeu de société) et on le place de façon aléatoire sur une des 6 premières cartes du circuit. Donc dans l'image précédente, on le place soit sur l'as de coeur, le 2 de pique, le 6 de carreau, le 4 de coeur, le 2 de coeur ou le 3 de carreaux.
On avance ensuite le pion d'autant de cases que le nombre indiqué sur la carte.

Par exemple, si on a placé le pion sur le 2 de pique, on le fait avancer de deux cases et il se retrouve sur le 4 de coeur. Ensuite, on le fait avancer de 4 cases jusqu'à ce qu'il se trouve l'as de pique. On continue ainsi jusqu'à dépasser la ligne d'arrivée. On note X la carte finale sur laquelle on est tombée.

Le magicien calcule discrètement la carte finale sur laquelle on tombe en partant de la première carte du circuit (i.e en partant de l'as de coeur dans cet exemple). Il fait ensuite une prédiction correspondant à la carte X qu'il a relevée.

Le spectateur choisit une carte au hasard parmi les 6 premières (par exemple le 6 de carreaux), se déplace en suivant la procédure énoncée ci-dessus et tombe sur X ! Il lit la prédiction faite par le magicien et le tour est réussi !

En fait, "presque tout le temps" quel que soit la carte de départ choisie parmi les 6 premieres, on tombe sur la carte X (qui correspond au déplacement effectué en partant de la première).

Si on mélange à nouveau le jeu de 24 cartes et que l'on créé un autre circuit, il est possible que ce phénomène ne se produise plus.

En fait, il se produit dans environ 93% des cas. J'ai fait un programme sur Python (que l'on peut sans doute améliorer) qui calcule la probabilité qu'en partant de la première carte du circuit, on obtient la même carte finale que si on partait des 5 autres. Je trouve environ 93%.
Code: Tout sélectionner
import random

n=0  #n va compter le nb de fois où le tour de magie est réussie
for j in range(100000):
  l=[1,2,3,4,5,6]
  for i in range(1,7):
    l.append(i)
    l.append(i)
    l.append(i)

# ici, on créé une liste qui contient les 24 cartes  (on peut faire mieux pour la créer mais je connais pas très bien Python)

  L=[]
  while len(L)!=24:
    s=random.choice(l)
    L.append(s)
    l.remove(s)

# ici, on mélange le jeu et on obtient une nouvelle liste L

  t=random.randint(0,5) #le spectateur choisit une des 6 premières cartes au hasard.
  while t <=23:
    u=L[t]
    t=t+L[t]
  t=t-24
  u=L[t]

#on avance les pions ...
   
  v=0
  while v<=23:
    w=L[v]
    v=v+L[v]
  v=v-24
  w=L[v]

#on fait le chemin comme si on était parti de la 1ère carte
   
  if t==v and u==w:
    n=n+1

#on compare : obtient-on le même en résultat en partant de la carte choisie aléatoirement par le spectateur que si on était parti de la première ?
print(n/100000)


Comment calculer cette probabilité théoriquement ?

J'espère que la description est suffisament claire.
Modifié en dernier par Elias le 05 Jan 2018, 17:42, modifié 1 fois.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.



nodgim
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Re: tour de magie et probabilités

par nodgim » 05 Jan 2018, 17:33

Joli problème en tout cas !
Pas d'idée pour l'instant.....

Pseuda
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Re: tour de magie et probabilités

par Pseuda » 05 Jan 2018, 20:28

Cela ne m'étonne qu'à moitié. Déjà sur la configuration du dessin, en partant de la 1ère ou de la 2ème carte, on retombe sur la 4ème. Ensuite le circuit est le même, et on finit sur la même carte dans au moins 50% des cas.

Si on pousse un peu plus loin, on se rend compte qu'en partant d'une autre carte, on a de fortes chances de retomber sur une carte du circuit de base, et donc on finit pareil. Maintenant, d'évaluer à la louche les chances qu'on a de retomber au cours du circuit sur une carte du circuit de base, je dirais :

A la louche : une moyenne de 7 coups, 1 chance sur 3 à chaque fois, soit une chance de 1-(2/3)^7=94% (je ne l'ai pas fait exprès.

Elias
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Re: tour de magie et probabilités

par Elias » 05 Jan 2018, 20:48

Pseuda a écrit:Cela ne m'étonne qu'à moitié. Déjà sur la configuration du dessin, en partant de la 1ère ou de la 2ème carte, on retombe sur la 4ème. Ensuite le circuit est le même, et on finit sur la même carte dans au moins 50% des cas.


Oui, on peut même directe direct qu'en partant de la première, on tombe sur la deuxième donc partir de la première ou deuxieme c'est pareil.
Après, faut pas raisonner sur ce cas particulier car en mélangeant le jeu, la situation peut être tout autre.

Par exemple, si on prend le circuit [6, 6, 3, 6, 3, 5, 1, 5, 1, 4, 4, 3, 2, 2, 4, 6, 2, 1, 5, 3, 1, 5, 2, 4], en partant du premier 6, on arrive pas au même endroit qu'en partant du quatrieme 6.

Si on pousse un peu plus loin, on se rend compte qu'en partant d'une autre carte, on a de fortes chances de retomber sur une carte du circuit de base, et donc on finit pareil.


Sur ce cas particulier ? Sur ce cas particulier, ça marche mais en général, je vois pas un argument qui dirait que c'est évident.. Surtout qu'il faut aussi prendre en compte le fait que je n'ai travaillé qu'avec les cartes 1,2,3,4,5,6, si je les prends toutes (en allant jusqu'au roi qui vaut 13), la proba de retomber sur une carte du circuit de base devient beaucoup plus faible (on est déjà à 82% si je prend de 1 à 10...)
Donc je trouve que c'est un peu rapide.


Sinon je suis d'accord avec toi sur l'idée qu'on sent bien qu'à un moment tous les chemins vont mener à Rome mais c'est sur le calcul exact que je m'interrogeais.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

Pseuda
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Re: tour de magie et probabilités

par Pseuda » 05 Jan 2018, 21:09

Je n'ai raisonné qu'avec des cartes numérotées de 1 à 6, et sur un circuit quelconque. Les chances de retomber sur une carte du circuit de base sont fortes (le magicien ne prend pas de gros risques, mais 7% de chances de se tromper, c'est discréditant). Maintenant, avec des cartes de 1 à 10, la probabilité doit diminuer (il y a plus de cartes, plus de pas, mais avec une proba sur chaque pas plus faible).

Quant à un calcul exact, il ne me semble pas évident au premier abord.

beagle
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Re: tour de magie et probabilités

par beagle » 06 Jan 2018, 14:28

Je trouve ce tour de magie excellent, et sa base est mathématique donc double intérèt.

La magie c'est cacher quelque chose pour surprendre.
Ici la façon de cacher est astucieuse, c'est de dire il ya le chaos du désordre, les cartes arrivent n'importe comment, ( sont mélangées Beagle ), donc on ne peut pas arriver au même endroit.

alors il faut jouer un peu pour voir la supercherie.
Si nous étions en permanence dans je te donne une série de nombres au hasard entre 1 et 6,
et je donne une série au hasard à une autre personne. Ben on voit mal arriver au même endroit.

sauf que là l'astuce est le nombre aléatoire que je te donne ensuite sera le même pour les deux séries dès que égalisation.Or cette égalisation arrive facilement, ce que l'on ne voit pas de premier abord.

Nous sommes dans un cas très semblable aux séries +1-1 de pas, ou de courbe de gains au pile ou face, pile +1, face -1.Ces courbes repassent toutjours au zéro nous dit-on.et c'est vrai.Mais on a vu dans un fil que je retrouverai * que ce retour au zéro arrive en plus probable au début du processus (alors que Qs l'égalisation des pile et face c'est si on fait beaucoup beaucoup de lancers).Du fait du binomial le retour au zéro se fait très vite le plus plus souvent.
Et ici c'est idem, l'égalisation = retomber sur une même carte intervient rapidement car on s'en donne les moyens JUSTEMENT en distribuant l'aléatoire, c'est là le surprenant.Car pour que cela ne s'égalise pas il faudrait bien au contraire très mal mélanger les cartes.Bref avec des cartes comme +1 ou +2 ou 3 tu fais facilement de l'égalisation, idem le fait d'avoir peu de cartes et des consécutifs , ben tomber sur 6 l'autre sur 5 et hop tu regularises.si on prend des nombres de 1 à 20, ben celka va prendre un paquet de temps avant que de régulariser un 4 et un 19, puis un 7 et un 12.Mais cela se fera, juste que cela serait long.
Donc spontanément sans rien avoir à faire il est logique que cela se régularise se synchronise.
Et quand c'est synchrone, ben toutes ces cartes aléatoires de fin de parcours sont déjà un leurre d'avoir de l'aléatoire.

aléatoire total début à fin, la différence fait des oscillations, à la fin on est à un des niveaux possibles de l'oscillation = peu (beaucoup moins) au zéro
aléatoire total surtout de faibles amplitudes, on fait des oscillations de faibles amplitudes dans la zone du zéro, ben cela repasse par le zéro, et ensuite on a sycnchronisé.

On pourrait y rajouter une petite note de proba conditionnelle mais je ne sais pas quel % intervient, cela ne me semble pas le plus important.Mais avec 4 cartes seulement de chaque tout de même bien obligé d'observer que:
si je tire à un moment un carte 4, ben la série pas encore synchrone va tomber sur des cartes possibles mais seulement 3 cartes 4 si on ne les pas déjà passé, contre 4 pour autres (ou 3 moins déjà passées contre 4 moins déjà passées).Or ceci est un évènement synchronisateur.

Bon ceci n'est pas le calcul de la proba.

Juste la structure sous-jaccente, d'où vient le tour de magie.
Et perso je suis séduits, car on ne voit pas tout de suite l'astuce, et cette astuce est mathématique.Chapeau de magicien l'artiste!

* ça doit ètre là mais j'ai la flemme de voir où!
cafe-mathematique/augmentation-des-chances-gagner-pile-face-t186615.html?hilit=égalisation%20pile%20ou%20face#p1240009
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Pseuda
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Re: tour de magie et probabilités

par Pseuda » 06 Jan 2018, 17:29

Le fait qu'il y ait 4 as, 4 deux,... 4 six, doit augmenter légérement les chances (par rapport à des numéros complétement aléatoires entre 1 et 6) de retomber sur une même carte. Mais c'est intuitif, peut-être faux.

pi007
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Re: tour de magie et probabilités

par pi007 » 24 Sep 2022, 13:37

.
Modifié en dernier par pi007 le 29 Sep 2022, 18:29, modifié 1 fois.

pi007
Messages: 2
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Re: tour de magie et probabilités

par pi007 » 29 Sep 2022, 18:26

Elias a écrit:En fait, il se produit dans environ 93% des cas. J'ai fait un programme sur Python (que l'on peut sans doute améliorer) qui calcule la probabilité qu'en partant de la première carte du circuit, on obtient la même carte finale que si on partait des 5 autres. Je trouve environ 93%.


Bonjour Elias,

Bien que ce post soit un peu ancien (...) , on est bien d'accord votre programme python est faux ? (le test à la fin ).
On trouve en realité une proba de reussite d'environ 82.5%...

Cordialement.

 

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