Le saviez-vous ? (arithmétique)

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Flodelarab
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Le saviez-vous ? (arithmétique)

par Flodelarab » 23 Déc 2007, 01:09

Salut :salut:



Le saviez vous ?

Exemple:
(1 + 2 + 3 + 4 )² = 10² = 100 = 1 + 8 + 27 + 64 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³



Nightmare
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par Nightmare » 23 Déc 2007, 01:13

Oui :lol3: :lol2:

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 23 Déc 2007, 01:29

lol oui ^^ on le démontre par récurrence :)

c'est sympa comme démonstration même :D :D

lapras
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par lapras » 23 Déc 2007, 10:39

je ne savais pas !
C'est jolie ! :happy2: (par contre la démonstration par récurrence n'est pas tres interessante)

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leon1789
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par leon1789 » 23 Déc 2007, 10:42

Plus intéressant est de retrouver les formules de sommation (en tout degré 1,2,3,4,...), non ? :happy2:

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
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par ThSQ » 23 Déc 2007, 10:46

Oui :we:

Y'a plein de preuves, dont une géométrique très zoulie.


Et cela invite naturellement à l'exo (de mon invention :girl2: ) :

Quelles sont les suites (de nombres réels positifs (facile) et quelconques (:spy:)) telles que


lapras
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par lapras » 23 Déc 2007, 10:59

Je propose de faire une "récurrence"
tu prend U0 tel que ca soit vrai
tu veux que ca soit vraie pour le suivant :
ca équivaut à dire que 2*Somme(Ui)*U_(i+1) + U_(i+1)² = U_(i+1)^3
U_(i+1)² - U_(i+1) - 2*Somme(Ui) = 0
c'est un polynome du second degré en U_(i+1)
on prend donc U_(i+1) = (1 + sqrt(1+8*Somme(Ui))/2
Donc la condition de départ c'est U0² = U0^3
soit U0²(U0 - 1) = 0
soit U0 = 0 ou U0 = 1
la seule suite possible reste donc celle de flodelarab

SimonB
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par SimonB » 23 Déc 2007, 17:29

ThSQ a écrit:Y'a plein de preuves, dont une géométrique très zoulie.


J'aime beaucoup, c'est au départ une des nombreuses "preuves sans mots" des mathématiciens chinois, dont la simplicité et la beauté sont à admirer.

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
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par ThSQ » 24 Déc 2007, 18:36

Bon c'était très facile le cas positif. Le cas général maintenant !

lapras
Membre Transcendant
Messages: 3664
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par lapras » 24 Déc 2007, 19:21

On peut prendre la solution négative de mon trinome :)

ThSQ
Membre Complexe
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par ThSQ » 24 Déc 2007, 21:19

Tsss .

Flodelarab
Membre Légendaire
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par Flodelarab » 25 Déc 2007, 18:34

lapras a écrit:On peut prendre la solution négative de mon trinome :)

Ben en fait, oui. Je ne comprends pas pourquoi tu as éliminé d'office cette partie de ta première démo.
Car il y a bien 3 suites qui fonctionnent (sur les 4 possibles) et non 2:
* La suite des entiers consécutifs (partant de 0 ou de 1)
* La suite de zéros
Le 4ème cas donnant 0;1;-1 est impossible puisqu'on a dit "positifs".

_-Gaara-_
Membre Complexe
Messages: 2813
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par _-Gaara-_ » 25 Déc 2007, 18:57

ThSQ a écrit:Tsss .



:doh: :hein: huh ?

 

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