Les plus jolies démonstrations selon vous? D'ail

par **JonathanMath9** » 30 Avr 2009, 23:40

Bastien L. a écrit:Bonsoir JonathanMath9!

Il existe plusieurs manières, plus ou moins longues, de prouver ce que tu dis, alors, à laquelle penses-tu, s'il-te-plaît?

Moi, je pense spontanément à des démonstrations qui disent beaucoup, voire énormément, en peu de mots. Des démonstrations qui montrent à quel point par les mathématiques nous sommes capables de dépasser la finitude et la discretion de notre propre pensée. Voilà pourquoi j'ai cité la démonstration par récurrence de la "formule" de la somme des entiers de 1 à n, la magnifique démonstration du fait que a^b peut être rationnel sans que ni a ni b ne le soit, faisant intervenir racine de 2 avec une disjonction des cas, et, pour finir, la démonstration par l'absurde de l'existance d'une infinité de nombres premiers. Voilà! Selon ce que j'ai écrit, il n'est pas étonnant de trouver de la récurrence et de l'absurde ^^ J'aime aussi beaucoup la démonstration par l'absurde de l'irrationnalité de racine de 2 et celle de l'inégalité triangulaire avec l'intégrale.

pourrais tu faire la demo de ce que tu dis, ou si tu pourrais me donner un lien (c ncomme tu veux) stp?

par **Imod** » 30 Avr 2009, 23:46

Joker62 a écrit:Bon sinon pour ma part, j'aime les démonstrations qui se servent d'autre branche des mathématiques

Ou le théorème fondamental de l'algèbre qu'on démontre toujours avec un soupçon d'analyse : un comble !!!

Imod

par **Imod** » 30 Avr 2009, 23:51

Bastien L. a écrit:Où peut-on les trouver?

Un peu partout je pense , l'une et l'autre ne font pas plus de deux lignes ( elles tiennent dans la marge elles :++: ) ce qui n'enlève rien à leur beauté .

Imod

par **PrépaQuébec** » 01 Mai 2009, 02:03

La preuve du théorème de Fermat-Wiles (plus connu sous le nom de dernier théorème de Fermat).
Je vous la détaillerai ici, un jour où j'aurai du temps. héhé.

par **Bastien L.** » 01 Mai 2009, 13:33

Bonjour!

JonathanMath9 a écrit:pourrais tu faire la demo de ce que tu dis, ou si tu pourrais me donner un lien (c ncomme tu veux) stp?

Démontrer quoi? Qu'il existe plusieurs démonstrations pour la limite que tu as citée? Je ne les retrouve pas, mais je me souviens qu'en cours (enfin, je crois me souvenir) nous avons fait une méthode assez simple, opératoire (je crois qu'il devait y avoir de l'encadrement), alors que dans notre livre ils commencent par construire des triangles, un plus petit, un plus grand, ils démontrent que sin(x)/x est compris entre les aires des deux triangles, ils montrent ce que deviennent les triangles quand on tend vers 0 Dans les deux cas, si mes souvenirs sont bons, ça revient à faire un encadrement, mais, sur le livre, c'est plus visuel, plus long, et avec davantage d'écueils

par **Euler911** » 01 Mai 2009, 13:58

Bonjour,

Pour démontrer cette limite on peut utiliser:

1) le théorème du gendarme en encadrant sin(x)/x
2) utiliser la règle de l'Hospital
3) utiliser la définition du nombre dérivé en 0 de sin(x).
4) il y a sans doute d'autres méthode, mais je ne les connais pas!

par **Zweig** » 02 Mai 2009, 00:02

Géométriquement aussi, en utilisant le cercle trigonométrique, sauf erreur.

par **Imod** » 02 Mai 2009, 02:02

Pour la limite de sinx/x en 0 moi je dirais cos0 ( mais je suis de la vieille école ) , c'est pas beau sauf pour un lycéen qui le découvre :doh:

Imod

par **ffpower** » 02 Mai 2009, 11:16

La question,aussi c est de quelle definition du sinus on part?De la définition rigoureuse( (e^(ix)-e^(-ix))/2i) ou de la définition géométrique(moins rigoureuse mais plus intuitive)?Le choix de la definition change pas mal la demo..

par **Bastien L.** » 02 Mai 2009, 13:17

Pourquoi la définition géométrique mériterait-elle d'être qualifiée de "moins rigoureuse"? Et n'est-elle pas d'ailleurs "antérieure" à l'autre dont tu parles, je veux dire: on ne peut pas parler de nombre complexe à la forme trigonométrique (et, donc, exponentielle, puisque c'est lié) avant que d'avoir construit les fonctions trigonométriques sur le cercle, si?

par **Euler911** » 02 Mai 2009, 13:18

Pourquoi est-ce que la définition géométrique est moins rigoureuse que la définition utilisant les exponentielles???

par **SimonB** » 04 Mai 2009, 08:32

Imod a écrit:Ou le théorème fondamental de l'algèbre qu'on démontre toujours avec un soupçon d'analyse : un comble !!!

C'est probablement dû au fait que le théorème fondamental de l'algèbre porte un nom impropre (il se base sur la structure de

, objet éminemment analytique...

). Ceci dit, mon sujet de séminaire cette année, c'est le théorème fondamental de l'algèbre en version algébrique : globalement, on n'a besoin que du théorème des valeurs intermédiaires pour des polynômes sur un corps réel clos. Je vous en parlerai sûrement dans un autre fil dès que j'aurai un peu moins de boulot (et en particulier quand j'aurai fini ce séminaire...

).

par **leon1789** » 06 Mai 2009, 21:54

A mon tour :we: Une belle preuve ? Celle qui démontre rapidement un résultat fort en utilisant pas grand chose (cela a déjà été proposé... je ne suis pas très novateur :hum: )

Bastien L. a écrit:la démonstration par l'absurde de l'irrationnalité de la racine carrée de 2, la démonstration par l'absurde de l'existance d'une infinité de nombres premiers.

Personnellement, je trouve ces deux preuves (les deux preuves par l'absurde auxquelles je pense) assez "moches", dans le sens où
-- la première cache un résultat plus précis que l'on peut démontrer facilement ;
-- la seconde cache une méthode (naïve) pour obtenir une infinité de nombres premiers.

par **leon1789** » 06 Mai 2009, 21:55

Zweig a écrit:- Tout nombre entier naturel s'écrit sous la forme n (conséquence directe de la décomposition en produit de facteurs premiers) avec un entier naturel impair.

Je pense que c'est davantage une conséquence directe de la division euclidienne itérée... quel que soit l'entier

, on peut écrire

où c ne divise pas b

par **leon1789** » 06 Mai 2009, 21:56

Imod a écrit:Ou le théorème fondamental de l'algèbre qu'on démontre toujours avec un soupçon d'analyse : un comble !!!

Imod

Tu veux dire que le titre "le théorème fondamental de l'algèbre" est un comble ? Oui, je suis bien d'accord.

Sinon, en ce qui concerne le soupçon d'analyse, c'est bien normal, vu la définition de C/R.

SimonB a écrit:C'est probablement dû au fait que le théorème fondamental de l'algèbre porte un nom impropre (il se base sur la structure de , objet éminemment analytique... ). Ceci dit, mon sujet de séminaire cette année, c'est le théorème fondamental de l'algèbre en version algébrique : globalement, on n'a besoin que du théorème des valeurs intermédiaires pour des polynômes sur un corps réel clos.

Je suis 100% d'accord.
Mais ton truc "théorème des valeurs intermédiaires pour des polynômes", ne serait-ce pas une idée de math intuitionniste ? (dans laquelle le théorème des valeurs intermédiaires, sur le corps R, est faux pour les fonctions continues, mais vrai pour les polynômes, si j'ai bien compris...)

par **SimonB** » 06 Mai 2009, 22:56

leon1789 a écrit:Mais ton truc "théorème des valeurs intermédiaires pour des polynômes", ne serait-ce pas une idée de math intuitionniste ? (dans laquelle le théorème des valeurs intermédiaires, sur le corps R, est faux pour les fonctions continues, mais vrai pour les polynômes, si j'ai bien compris...)

Je ne sais pas. C'est un point auquel je n'ai pas encore réfléchi. J'en parlerai peut-être plus bientôt

par **olhey** » 19 Mai 2009, 20:14

Pour moi le nec plus ultra, c'est quand le prof a fait la demo pour le volume de la sphère à partir des intégrales et du volume par rotation... C'est pas compliqué, mais la formule du volume de la sphère, tu l'utilises depuis "tout petit" et un jour... Being on te dis voilà pourquoi. Alors t'es enfin digne de l'utiliser :D

par **Dominique Lefebvre** » 19 Mai 2009, 20:50

olhey a écrit:Pour moi le nec plus ultra, c'est quand le prof a fait la demo pour le volume de la sphère à partir des intégrales et du volume par rotation... C'est pas compliqué, mais la formule du volume de la sphère, tu l'utilises depuis "tout petit" et un jour... Being on te dis voilà pourquoi. Alors t'es enfin digne de l'utiliser

Bonsoir,
Le volume de la boule!! Je te rappelle que la sphère est une 2-variété, autrement dit une surface! Elle limite une boule et tu mesures ou calcules le volume d'une boule....

par **Bastien L.** » 19 Mai 2009, 20:52

Bonsoir,

Il est vrai qu'on lit souvent "volume d'une sphère" C'a l'aire de moins choquer que "aire du cercle" Bizarre Et on parle de "calotte sphérique"

par **Dominique Lefebvre** » 19 Mai 2009, 21:26

Bastien L. a écrit:Bonsoir,

Il est vrai qu'on lit souvent "volume d'une sphère" C'a l'aire de moins choquer que "aire du cercle" Bizarre Et on parle de "calotte sphérique"

Dans la mesure où le terme "calotte sphérique" désigne une surface, il n'y a pas de problème...
Sur que l'aire d'un cercle, c'est très moyen! Et pourtant on le lit si souvent! le terme "disque" semble inconnu!

Les plus jolies démonstrations selon vous? D'ail

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