Redressement de perspective

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je veux ici raconter une petite histoire : étant donné une photo de carrelage vu en perspective, comment redresser cette vue en perspective sur un rectangle ?



Sur l'image ci-dessus, on veut redresser le carrelage abcd en le rectangle EFGd. Le redressement envoie le point m du carrelage sur le point M du rectangle.
Comment décrire ce redressement ?
On peut demander une construction de M à partir de m (à la règle et au traceur de parallèles).
On peut demander une formule livrant les coordonnées de M à partir de celles de m.

Dans tous les cas, l'outil mathématique indispensable consistera en des rudiments de géométrie projective. Pourquoi indispensable ? Parce que la transformation du plan sur le plan que l'on veut réaliser se doit de préserver l'alignement, et que le théorème fondamental de la géométrie projective dit qu'une telle transformation est alors une homographie, c.-à-d. une transformation projective du plan. Et bien sûr, puisque le parallélisme n'est pas conservé (deux bords parallèles du carrelage se coupent sur la figure), il ne s'agit pas d'une transformation affine.

Adieu Thalès, bonjour le birapport !

À suivre.

[GaBuZoMeu]

Quelques petites explications sur le birapport, et le rapport du birapport avec Thalès. Le birapport de quatre points alignés sur une droite est

(les barres désignent les mesures algébriques). Ce birapport est l'invariant fondamental de la géométrie projective. Soit un point qui n'est pas sur , et une autre droite ne passant pas par et qui coupe en respectivement. On a l'égalité des birapports

et cette valeur commune pour toutes les sécantes est le birapport des quatre droites .



Faisons maintenant de la droite de l'infini, de sorte que les droites sont maintenant parallèles. Puisque part à l'infini, le rapport devient égal à , et le birapport se réduit à . L'égalité des birapports devient alors le théorème de Thalès : .



Bon, mais peut-être quelqu'un d'absolument réfractaire à la géométrie projective soutiendra mordicus que le redressement de perspective n'a pas besoin de tout cet attirail inutile et peut se faire en deux coups de Thalès ? Au prochain épisode, nous verrons ce que ça donne.

[GaBuZoMeu]

Donc, notre individu totalement imaginaire prétend qu'on peut redresser la vue en perspective du carrelage en deux coups de Thalès. Diable, où appliquer Thalès ? L'individu imaginaire se fait un peu prier pour donner son truc, mais à la fin il explicite tout de même une construction.
Bien sûr, on construit le point de fuite vertical intersection des côtés et du carrelage et le point de fuite horizontal intersection des côtés et . On trace la droite (la verticale pour le carrelage passant par ) qui coupe en et la droite (l'horizontale pour le carrelage passant par ) qui coupe en . On construit sur le côté du rectangle et sur le côté tels que et . (Thalès ??).
Le point correspondant à dans le redressement, selon notre individu imaginaire, est le point qui se projette verticalement sur et horizontalement sur . Ah ah, intéressant ! En voila une belle construction ! On l'applique illico à la diagonale du carrelage, et ce qu'on trouve comme redressement est ... la courbe rouge du dessin qui va de à .



Bien sûr, seul un individu totalement imaginaire pourrait avoir l'idée de redresser une droite en un virage. Thalès est bien hors course ici. Il faudra faire un peu plus compliqué et se résoudre à utiliser les outils de la géométrie projective (le birapport). C'est plus cher, mais il faut mettre le prix pour avoir quelque chose de correct. On verra au prochain épisode comment procéder.

[GaBuZoMeu]

Reprenons la proposition de notre individu imaginaire. Tout n'est pas à jeter dedans. Il construit le point qui est la projection horizontale (pour l'horizontale du carrelage) de sur le côté du carrelage. So far, so good. Ensuite il veut construire à partir de la projection horizontale du point redressé sur le côté du rectangle, image du côté du carrelage. Son erreur, c'est de faire comme s'il s'agissait d'une transformation affine respectant les proportions. Mais c'est bel et bien une transformation projective qui envoie sur lui-même, sur , à l'infini ... et sur . L'invariance du birapport nous donne la relation correcte pour trouver :

Ce n'est pas Thalès ! Le dénominateur du birapport change la formule incorrecte de notre individu imaginaire en une formule certes plus compliquée, mais cette fois-ci correcte.

Au prochain message, nous verrons concrètement comment faire la construction correcte du bon point à la règle et au traceur de parallèle.

[GaBuZoMeu]

J'explique donc la construction correcte de , projection horizontale du point recherché, sur le côté du rectangle.

On a vu que est caractérisé par le fait que est égal au birapport . Ce birapport est égal au birapport des droites qui joignent aux points . Coupons les quatre droites par la sécante en notant et . On a l'égalité de birapports .

Soit l'intersection de la verticale passant par avec . Le birapport des quatre droites est égal à et donc à . Soit . Les droites coupent en où est le point à l'infini du plan projectif dans la direction verticale ; le birapport de ces quatre points est et on a bien construit sur le côté tel que .



Rappelons le protocole de construction, une fois et construits et donné :





verticale passant par



.

On peut bien sûr procéder de la même façon, mutatis mutandis, pour contruire le point projection verticale de sur le côté du rectangle, et ceci nous fait une construction de en n'utilisant qu'une règle et un traceur de parallèle.

La prochaine fois, on verra qu'une homographie (ou transformation projective) du plan peut être donné par une matrice , à un facteur scalaire près.

[GaBuZoMeu]

On connaît assez souvent les fonctions homographiques. Ce sont les fonctions de la forme

avec .

Elles peuvent s'étendre à la droite projective obtenue en ajoutant un point à l'infini à la droite. Étant donné deux triplets et de points distincts sur la droite, il existe une et une seule fonction homographique qui envoie le premier triplet sur le deuxième. En particulier, l'unique fonction homographique qui envoie le triplet sur le triplet est



On peut remarque que l'image de par cette fonction homographique est justement le birapport .

Passons maintenant de la droite au plan. Une homographie du plan est une transformation de la forme



où le déterminant de la matrice de coefficients est non nul. Une telle homographie s'étend au plan projectif obtenu en ajoutant un point à l'infini pour chaque direction de droite. Une homographie est donc donnée par les neuf coefficients , à un facteur scalaire près (multiplier tous les par un même donne la même homographie). On a ainsi huit degrés de liberté.

Étant donné deux quadruplets et de points dans le plan (tels que trois points d'un quadruplet ne soient jamais alignés), il existe une unique homographie du plan qui envoie le premier quadruplet sur le deuxième. On retrouve bien les huit degrés de liberté puisque chaque point du plan est repéré par deux coordonnées.

Le redressement que l'on cherche, c'est l'unique homographie qui envoie le quadruplet (les coins du carrelage) sur le quadruplet (les coins du rectangle). On cherche les neuf coefficients de l'homographie, en fait huit puisque l'on peut en fixer un arbitrairement vu la proportionalité. Une personne qui n'y connaît rien peut trouver que neuf ou huit, ça fait beaucoup. Nous avons vu que c'est en fait dans la nature des choses : on a huit degrés de liberté pour définir une homographie, de même qu'on a six degrés de liberté pour définir une transformation affine du plan, et trois degrés de liberté pour définir un déplacement du plan.

Dans notre problème de redressement, on a en fait le point qui est fixe et que l'on peut prendre comme origine du repère. Ça simplifie l'écriture de l'homographie de redressement cherchée, qui est alors de la forme



avec et que l'on peut prendre égal à . On n'a donc plus que six coefficients à déterminer. Suite au prochain numéro.

[GaBuZoMeu]

On a donc six coefficients inconnus à déterminer. On écrit que s'envoie sur (deux équations linéaires en les inconnues), sur et sur (deux inconnues encore à chaque fois, donc six équations.

Avec les données (relevées sur la feuille GeoGebra qui a servi pour les illustrations ci-dessus) :

et

on obtient les formules qui donnent les coordonnées du point redressé en fonction de celles du point :


où


Soit une matrice d'homographie :



Cette matrice d'homographie, c'est celle qu'on voit quand on utilise l'outil "Perspective" du logiciel GIMP. On verra ça tout à l'heure.

[GaBuZoMeu]

Redresser une perspective ou redresser une façade, tout le monde peut faire ça. Même moi, je peux le faire en utilisant le logicial GIMP. Par exemple, pour le carrelage qui nous a servi d'illustration au long de ce fil (et que j'ai emprunté à la personne totalement imaginaire à laquelle il a été fait allusion plus haut). Dans le menu de GIMP, en suivant Outils > Outils de tranformation > Perspective, on dispose de poignées aux quatre coins de l'image qui permettent de redresser la perspective. Voila le travail :




Et on voit apparaître une "matrice de transformation" :



Nous savons maintenant ce qu'est cette matrice : c'est la matrice de l'homographie qui fait passer du rectangle original de l'image au quadrilatère obtenu en tirant sur les poignées de coin. On peut comparer la matrice de GIMP à la matrice obtenue dans le message précédent. Il y a des changements puisque j'ai fait des miroirs pour retourner l'image (mais GIMP compte l'ordonnée vers le bas). Et puis les unités ne sont pas les mêmes dans GIMP que dans GeoGebra : les coordonnées de GIMP sont en gros 100 fois celles de GeoGebra. Compte tenu de ça la matrice calculée devient



Il y a clairement une bonne parenté entre la matrice calculée et celle fabriquée à la souris avec GIMP.
On sait maintenant quelles sont les mathématiques derrière le redressement de perspective (y compris le redressement de façade) : la géométrie projective.

[GaBuZoMeu]

Ce fil a eu au moins un lecteur (attentif ??). Le personnage imaginaire de l'histoire ne serait-il pas si imaginaire que ça ?
http://dlz9.forumactif.com/t79-demonstration-spectaculaire#381
Dommage (pour lui) qu'il n'y ait pas compris grand chose. Dommage aussi qu'il ne mette pas dans son commentaire un lien sur ce fil - des fois que quelqu'un se soit égaré sur son post et veuille lire quelque chose de raisonnable.

Bonsoir,
C'est avec une très grande admiration que j'ai lu le long fil sur le redressement de perspective.
Il y est démontré que la géométrie projective permet de redresser des perspectives.

Ça au moins, c'est correct.

C'est l'un des problèmes de la photogrammétrie. C'est une fonction à 9 paramètres, disons, en gros, 3 points définis en XYZ.

Ben non. Toute l'histoire se passe dans un plan, il y a quatre points (chacun deux coordonnées) et leurs images. Comme je l'ai expliqué, ça fait huit degrés de liberté.

Le cas du redressement de façade est assez différent, d'abord parce qu'on considère qu'une façade est plane, et ensuite, il est très rare de connaitre les dimensions, enfin en matière de mesure on admet généralement qu'il faut des observations en sur-nombre.

Le carrelage qui est redressé dans le fil est plan. Quelle différence entre ce carrelage et une façade ? Je ne connais pas les dimensions du carrelage. Enfin, si l'on dispose de plus de quatre paires (point, image du point) avec des mesures plus ou moins exactes, la résolution du système linéaire donnant les coefficients de l'homographie peut se faire avec la classique méthode des moindres carrés

A la fin de ce long fil, on utilise un logiciel existant, certes gratuit, mais on ne sait pas ce qu'il fait.

Il est non seulement gratuit mais open source : on sait donc ce qu'il fait, et d'ailleurs il en montre le principe en affichant la matrice d'homographie. Il fait une transformation projective du plan, déterminée par les transformés des quatre coins de l'image de départ. En tout cas il vaut mieux utiliser ce logiciel reconnu qu'un logiciel prétendument développé par un individu imaginaire qui est incapable d'expliquer en quoi consiste exactement l'algorithme de redressement (juste "deux applications de Thalès", et quand on demande des précisions, ce qu'on obtient est complètement faux, voir plus haut dans le fil).

En conclusion, il ne reste plus que 6 paramètres, on a donc fait une transformation plane.
Bonne soirée.

Oui, on fait une transformation projective plane, et pas une transformation affine. Et il est clairement expliqué qu'on s'est réduit à six coefficients à déterminer parce qu'il y a un point fixe (le point ) pris comme origine.

Bonne nuit.

PS. Je pense que je m'arrêterai ici dans les commentaires sur les dires de notre individu totalement imaginaire.
PPS. Enfin, si notre lecteur imaginaire veut montrer qu'il sait de quoi il parle, c'est très simple : qu'il explique clairement et précisément son algorithme de redressement : comment construire le point à partir du point ?

[Yezu]

Bonjour,

J'ai trouvé ce thread intéressant !

(Je tenais juste à faire la remarque car je présume qu'il y a d'autres qui ont suivi le fil - 200 vues - mais qui n'avaient rien à poster en commentaire; un peu comme moi )

[beagle]

Pierre est d'accord sur cette expérience:
" Un petit détail qui me parait important. Les mathématiques ne servent à rien d'autre qu'à permettre de résoudre des problèmes.
Don le problème posé est simple : on a une photographie de façade prise avec un appareil muni d'un objectif supposé parfait, c'est à dire sans déformation. Les lois de la géométrie nous indique que l'image, étant donné les écarts de distance entre l'appareil et les différents point de la façade supposée plane, conduisent à une déformation appelée perspective centrale. Cette déformation comporte un point de fuie qu'il est assez facile de déterminer.
Le but est de transformer cette image, la photographie, en une image dont les horizontales seront parallèles et les verticales parallèles.
Soir une photographie d'une façade plane et verticales, que GBZM ou un autre voudra bien me proposer, je la redresserai"

Dans le premier message il y avait ceci:
"D'abord, je n'ai jamais parlé de redressement de perspective, mais de "redressement de façade".
La nuance est importante, puisque il s'agit de "façade" et qu'il est sous-entendu qu'on est sur terre, que "verticale" et "horizontales" sont des notions fondamentales du monde réel."

[GaBuZoMeu]

Coucou Beagle, tu te fais maintenant le porte-parole de notre personnage imaginaire ? Peut-être pourrais-tu utiliser ta propre jugeote pour voir ce qu'il en est ?

Comme je l'ai démontré plus haut, n'importe qui peut redresser une façade ou un carrelage. Qu'est-ce que ça prouve ? Qu'on sait se servir d'un logiciel de traitement d'images. S'il veut, notre personnage imaginaire peut prendre la photo de carrelage qui traîne dans ce fil et redresser le carrelage. Ça nous fera (et à toi aussi) une belle jambe, n'est-ce pas ?

Sur la deuxième citation : le carrelage qui a servi dans ce fil est bien sur terre, et on a utilisé les bords du carrelage comme horizontales et verticales. Pourrais-tu expliquer la différence fondamentale qu'il y a entre redresser ce carrelage à peu près plan et redresser une façade à peu près plane ?

On parle bien ici de géométrie. J'ai expliqué dans ce fil, de manière totalement explicite, comment construire à la règle et au traceur de parallèle le point redressé M à partir du point m du carrelage. Tu peux d'ailleurs faire toi-même cette construction et t'amuser avec, le protocole de construction entièrement détaillé est donné dans ce fil (je te conseille le logiciel GeoGebra pour jouer avec cette construction).
J'ai aussi expliqué en détail comment calculer les coefficients de l'homographie (la matrice de transformation du logiciel GIMP) qui permet la transformation de l'image originale à l'image redressée à partir de quatre points sur l'image originale et de leurs quatre transformés.

Je le répète : si notre personnage imaginaire veut montrer qu'il sait de quoi il parle, c'est très simple pour lui : il explique le protocole détaillé de son algorithme de redressement de façade, de façon à ce que chacun puisse le reproduire. Pour quelqu'un qui affirme avoir développé un logiciel qui fait ça, ça devrait être facile d'expliquer la suite de calculs que fait exactement son logiciel, non ?

Sinon, je te souhaite bon courage dans ta tentative d'expliquer à notre personnage ce qu'est une distribution uniforme sur l'ensemble des entiers de 1 à 100.

Allez, bonne journée !

[Sylviel]

Les mathématiques ne servent à rien d'autre qu'à permettre de résoudre des problèmes.

Je crois qu'on a déjà un problème avec cette position. Les mathématiques sont une science en elle-même. On peut leur trouver plein d'utilité :
- "Pour l'honneur de l'esprit humain"
- pour le plaisir de la découverte
- pour l'apprentissage du raisonnement rigoureux (ce qui manque cruellement à certains)
- comme outil pour d'autres science

Ce que n'arrive pas à comprendre Dlz c'est que les maths répondent à une question mathématique bien posée.
Quand on a un problème "réel" (ou issu d'une autre science) il faut
1) modéliser le problème pour le formuler comme une question mathématique
2) résoudre la question mathématique
3) interpréter le résultat

Pour reprendre son cher exemple de stock le mathématicien à besoin que soit modélisé précisément la contrainte. Si on dis simplement "il ne doit jamais y avoir de rupture de stock" alors la réponse mathématique est extrêmement conservative (27 dans le cas des pièces de rechanges, infinie dans le cas des lampes). C'est pour ça que quelqu'un de sérieux demanderas à préciser la contrainte alors que Dlz se contente d'affirmer que seul son a priori sur le niveau de risque acceptable est le bon (sans même préciser le niveau choisit). Et pourtant : si on s'occupe des illuminations de noëm, du chauffage d'un entrepôt, de celui d'un bâtiment ou de l'alimentation électrique d'un hôpital le niveau de risque acceptable n'est franchement pas le même...

En revanche essayer de lui expliquer quelque chose est totalement inutile...

[Lostounet]

Merci GaBuZoMeu pour ce fil très intéressant !

Je vais le mettre en post-it quelque temps.

[GaBuZoMeu]

Merci de vos appréciations.

Cette histoire de redressement de façade dure depuis un bout de temps. Je donne ici des liens sur des discussions, liens que notre individu imaginaire se garde bien de donner (on se demande pourquoi !) :
les -mathematiques.net
les-mathematiques.net
Le présent fil reprend pas mal d'éléments d'un fil qui existait sur le forum "les dattes à Dattier" et qui a été détruit. Pour la première fois, notre individu imaginaire se risquait à préciser un algorithme de redressement : j'ai raconté ce que ça donnait dans ce message.
Depuis, l'individu imaginaire se garde bien de donner la moindre précision sur la façon de construire le redressement.

[GaBuZoMeu]

Ah, ah, du nouveau !
Notre personnage imaginaire se fend d'une proposition un peu précise :

Oui, bon, je vais essayer de rester strictement dans le domaine scientifique.
GIMP : j'ai l'impression très nette que le "redressement" n'est qu'une interpolation bilinéaire, c'est à dire qui transforme un quadrilatère en un autre quadrilatère, éventuellement rectangle. En tout cas, rien à voir avec la géométrie projective. Mais je peux me tromper.

Ça vaut le coup de tester cette hypothèse. Pour cela on fait un petit code en Sage. Ce code calcule l'interpolation bilinéaire qui envoie le quadrangle du carrelage sur le rectangle, puis dessine l'image de la diagonale du carrelage.

Code: Tout sélectionner

#Entrée de coordonnées des sommets des quadrilatères quad et QUAD
a = [-11.7042, 0.6021]; b = [-9.1551, 8.2267]; c = [-2.0568, 12.192];
d = [0.,0.]
quad=[a,b,c,d]
E = [-11.7042, 0]; F = [-11.7042, 12.192]; G = [0, 12.192]
QUAD=[E,F,G,d]

#Formule de l'interpolation bilinéaire
p,q,r,s,t,u,v,w=var('p,q,r,s,t,u,v,w')
Coeffs=[p,q,r,s,t,u,v,w]
x,y=var('x,y')
M=[p*x+q*x*y+r*y+s, t*x+u*x*y+v*y+w]

#Équations pour l'interpolation bilinéaire de quad sur QUAD
intbilX=[QUAD[i][0]-M[0].subs(x=quad[i][0],y=quad[i][1])\
         for i in range(4)]
intbilY=[QUAD[i][1]-M[1].subs(x=quad[i][0],y=quad[i][1])\
         for i in range(4)]

#Résolution du système d'équations pour trouver les coefficients
#de l'interpolation bilinéaire de quad sur QUAD
Sol=solve(intbilX+intbilY, [p,q,r,s,t,u,v,w],solution_dict=True)[0]

#Interpolation bilinéaire de quad sur QUAD
MSol=[M[i].subs([coeff==Sol[coeff] for coeff in Coeffs]) for i in range(2)]

#Dessins
desquad=line(quad+[a])
desQUAD=line(QUAD+[E],color='red')
diag=line([a,c])
l=var('l')
parDIAG=[MSol[i].subs(x=(1-l)*a[0]+l*c[0], y=(1-l)*a[1]+l*c[1])\
         for i in range(2)]
DIAG=parametric_plot(parDIAG,(l,0,1),color='red')
show(desquad+desQUAD+diag+DIAG, aspect_ratio=1)


Et voila le résultat :



L'image de la diagonale bleue est la courbe rouge. Alors que tout le monde peut voir que GIMP redresse bien la diagonale du carrelage en la diagonale du rectangle. Normal, GIMP fonctionne à la géométrie projective sur ce coup là !

Bon, j'attends toujours l'algorithme de redressement que notre personnage imaginaire a employé quand il a, paraît-il, développé son logiciel. Ça ne fait jamais que sept ans que je lui demande des précisions là-dessus. Les seules précisons que j'ai eues jusqu'à présent aboutissent à une catastrophe : on redresse une droite en une courbe.
Bizarre, non ?

[L.A.]

Bonsoir,

voici une solution un peu plus "géométrie pure" :

(clic puis afficher l'image)

Le point I du carrelage, ici en rouge, a pour image le point M sur le mur vertical vert, obtenu grâce au point de fuite L.
En appliquant une deuxième fois l'opération (ce que je n'ai pas fait ici pour ne pas surcharger la figure) on peut passe du mur vert au mur bleu, qui est vu de face donc sans perspective.

[beagle]

Bonsoir L.A. ,
ce truc est un peu le dada de Pierre qui ne peut communiquer sur ce forum.
Je te transmets donc sa réflexion-curiosité-demande d'en savoir plus:
"J'aimerais bien qu'il développe son message. Mon petit doigt me dit qu'il fait comme moi, c'est à dite qu'il utilise Thales et non pas une équation de degré 6, ou avec 9 paramètres. "

puisquil me semble qu'une demande d'en savoir plus me parait conforme à la charte du forum.

[L.A.]

Exactement, ce n'est que du Thalès, sachant que le parallélisme dans l'espace 3D se traduit par des points de fuite en perspective. Ici la ligne de fuite (MI) qui traverse le prisme droit GCDHEF est parallèle (dans l'espace 3D) aux arêtes (GC) et (HE) car même point de fuite L, le triangle JIM est donc semblable au triangle DCG.

Pour terminer le tracé, on construit P l'intersection de (BM) et (GD) puis Q tel que (NH), (KF), (QM) et (AB) soient concourantes, et tel que (QP) parallèle à (GN). Alors les triangles MPQ et HGK sont semblables (dans l'espace 3D), et le point I du rectangle CDFE vu en perspective correspond au point Q sur le rectangle DKNG vu de face, modulo une éventuelle symétrie centrale appliquée à DKNG

Je précise que c'est un peu mon dada aussi, mais plus dans la version règle équerre et compas.

[leon1789]

Bonsoir
L.A. , vous dites bien que vous travaillez dans l'espace 3D pour transformer cette figure du plan ? j'ai peut-être mal compris.

Par ailleurs, nous savons tous que Thalès n'est pas une transformation du plan, mais un théorème sur un certain bi-rapport valant toujours 1 (c'est assez évident).
Quelle(s) transformation(s) géométrique(s) utilisez vous concrètement pour obtenir vos nouvelles figures ? et combien de fois ?

Avec "les mains dans le moteur" (regardons la réalité des calculs), quand on calcule les coordonnées des nouveaux points, ces calculs se font-ils avec des expressions polynomiales de degré 1, 2, 3,... ? avec quelques divisions ou sans aucune division ?