Je recherche une fonction spéciale

[Anty28]

Voilà, je recherche le nom d'une fonction spéciale particulière qui prend pour valeurs :

f(0) = 1/2
f(1) = ln2
f(2) = pi/4
f(-1) = 1-ln2
f(-2) = 1-pi/4

Sa limite en +infini est 1, et 0 en -infini.

On peut aussi l'écrire comme la somme de (-1)^n/(1+nx) sur n, ou de Eta(-n)x^n sur n (si mes souvenirs sont bons) et d'une certaine manière, on peut la définir à partir des fonctions hypergéométriques comme 2F1[1;1/x;1+1/x;-1] (je sais que ça n'a pas de sens, mais bon...)

Mais je n'arrive toujours pas à trouver son nom... Quelqu'un peut m'aider ?

[Anty28]

J'ai trouvé la réponse, c'est lié à la fonction digamma en fait. No problemo.

Elle s'écrit (1/2z)[Psi0((z+1)/2z)-Psi0(1/2z)] et on peut aussi l'écrire comme étant l'intégrale de 0 à 1 de 1/(1+t^z)dt (si je ne me trompe pas en écrivant), par ailleurs.