Recherche d'une fonction périodique "rationnelle"

[sobriquet]

Bonjour,

Je me demande s'il existe une fonction ayant les qualités d'une fonction sinusoïdale sans certains inconvénients. Cette fonction f aurait les propriétés suivantes :

1) Définie de R dans R ;
2) Continue et continûment dérivable sur R ;
3) Périodique, mais non triviale : la fonction f : x -> 0 ne compte pas ;
4) Il existe un entier n tel que f est égale à sa dérivée n-ième : f^n (x) = f(x) ;
5) Et le plus important : pour tout rationnel q, f(q) est rationnel.

Si besoin, cette fonction pourrait-être construite par "juxtaposition", c'est-à-dire, par exemple, définie sur [0 ; a] et en la reproduisant sur les autres intervalles : f(x) = f(x-a).

A la limite, la condition 4 pourrait être affaiblie, et se contenter de dire que les dérivées successives de f respectent les mêmes propriétés indiquées.

Mais il me semble que la contrainte 5 me réduise à travailler avec les fonctions rationnelles. En y ajoutant la contrainte 2, on se limite aux fonctions polynomiales. Mais en n'utilisant que celles-ci, on s'expose à obtenir par dérivations successives une fonction triviale ou, si on a utilisé une juxtaposition, une fonction qui n'est pas continûment dérivable.

J'en conclus donc que la fonction de mes rêves n'existe pas. Mon raisonnement est-il correct ?

[henriettedumans]

Bonjour,
J'ai cherché un peu, je ne trouve même pas de fonction qui ne soit pas sinusoïdale, qui soit continue et périodique déjà à cette étape je bloque.
Une fois qu'on enlève les fonctions sinusoïdales, la fonction partie entière et les fonctions définies par morceaux, je ne vois pas ce qui reste.

[Sourire_banane]

Hello,

Faut donner f est C-infini aussi non ?

[adrien69]

Est tu capable de montrer que la condition 5) t'interdit les fonctions autres que rationnelles ? Certaines fonctions rationnelles (à coefficients rationnels) vérifient ta condition, c'est vrai (et ce sont à mon avis les seules pour une sombre histoire de liberté d'une Q-famille dans R), mais il peut y avoir des fonctions autres qui le vérifient (je n'ai que des exemples non dérivables par contre) comme un signal créneau.

[sobriquet]

Oui, j'aurais pu plus simplement dire que f est C-infini.

On peut utiliser les fonctions définies par parties. Par exemple, f définie
- sur [-1 ; 1] par f(x) = 0.5x^3 - 0.5x,
- sur [1 ; +infini[ par f(x) = f(x-2),
- et sur ]-infini ; -1] par f(x) = f(x+2)
est périodique, continue, continûment dérivable, mais f'(x) n'est pas continûment dérivable.

En utilisant des polynômes de degré plus élevés, on doit pouvoir créer des fonctions périodiques de classe Cn, n arbitrairement grand, mais ça ne suffit malheureusement pas à répondre aux propriétés recherchées.

[sobriquet]

@Adrien69

Oui, il me semble que c'est bien le cœur du problème. Je n'ai pas réussi à démontrer que seules les fonctions rationnelles étaient possibles, j'ai juste procédé par élimination : pas d'exponentielles, de log, de racines, de cosinus, ...

Je vais essayer de comprendre ce que ça veut dire "liberté d'une Q-famille dans R" :happy2:

[adrien69]

On est d'accord que sur ton modèle on peut faire des raccords aussi réguliers que l'on veut en augmentant tout simplement le degré du polynôme ? La question devient alors : est-ce que l'on peut extraire une suite de ces polynômes raccordés qui converge uniformément (la réponse est oui si tes polynômes ne sont pas trop bizarres) et surtout, est-ce que ça préserve la propriété de Q-stabilité. Ça je n'en sais trop rien. Faudrait voir si l'ensemble des fonctions vérifiant cette propriété est un fermé de pour la norme uniforme.