Problème d'équations équivalentes

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
seba110298
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Problème d'équations équivalentes

par seba110298 » 16 Avr 2019, 12:53

Bonjour,

Partant de cette équation,


dont l'ensemble des solutions est (condition d'existence).

Si on multiplie chaque membre de cette équation par un même nombre, on obtient une équation équivalente, c'est-à-dire, qui a le même ensemble de solutions que l'équation de départ.

Ainsi, en mettant tout au même dénominateur puis en multipliant chaque membre par ce même dénominateur commun, on obtient


dont l'ensemble des solutions est maintenant .

Je ne comprends donc pas, malgré que j'ai respecté la propriété citée ci-dessus, pourquoi l'ensemble des solutions n'est plus équivalent. Je dois avoir fait une erreur dans mon raisonnement mais je n'arrive pas à savoir où.

Pouvez-vous m'aider ?



aviateur
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Re: Problème d'équations équivalentes

par aviateur » 16 Avr 2019, 13:34

Bonjour
Pour commencer le vocabulaire n'est pas correct: tu as une équation au départ qu'on va nommer (1)
(et puis si tes calculs sont corrects tu arrives à une équation que je désigne par (2).)
Alors R-{2} n'est pas l'ensemble des solutions de (1) (d'ailleurs cette ensemble c'est ce qu'on cherche)
R-{2} est l'ensemble de définition de (1).
Si on désigne par S l'ensemble des solutions de (1) on a donc

Ensuite tes calculs consistent à obtenir
que [ ] ssi [x est solution de (2) et ]

seba110298
Messages: 2
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Re: Problème d'équations équivalentes

par seba110298 » 16 Avr 2019, 15:12

Tout d'abord, merci pour ta réponse rapide :)

aviateur a écrit:Pour commencer le vocabulaire n'est pas correct: tu as une équation au départ qu'on va nommer (1)
(et puis si tes calculs sont corrects tu arrives à une équation que je désigne par (2).)
Alors R-{2} n'est pas l'ensemble des solutions de (1) (d'ailleurs cette ensemble c'est ce qu'on cherche)
R-{2} est l'ensemble de définition de (1).
Si on désigne par S l'ensemble des solutions de (1) on a donc

En effet, je comprends bien que l'ensemble est bien le domaine de définition de l'équation (1). Mais n'est-elle pas également (dans ce cas-ci) l'ensemble des solutions ? Car si on remplace x par chaque élément du domaine de définition, l'égalité est respectée.

Ensuite tes calculs consistent à obtenir
que [ ] ssi [x est solution de (2) et ]

Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par là.

(Je précise que je n'ai pas de grandes connaissances en mathématique (chose que tu auras remarqué au vu de ma question de départ :) )).

aviateur
Habitué(e)
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Re: Problème d'équations équivalentes

par aviateur » 16 Avr 2019, 15:34

Bon en fait ce que j'ai dit reste correct. Mais c'est vrai que je n'ai pas regardé l'équation i.e la valeur de S.

Alors je reprécise ce que j'ai dit et je complète en tenant compte de ce cas particulier.

On a (1) avec avec un ensemble de solution
(pour l'instant j'ignore la valeur de )

Le raisonnement consiste à montrer que

Pour tout on a : x est solution de (1) ssi x vérifie (2). (*)

Mais (2) a pour domaine de définition et un ensemble de solution

(pour l'instant j'ignore aussi la valeur de )


L'équivalence (*) il faut bien voir qu'elle est vraie pour tout On n'a pas dit qu'elle est vraie pour x=2.

Autrement dit (*) affirme que (et non pas ) (**)

Maintenant, concrètement si on résout (2), on voit que donc la conséquence de (*) (ou de(**)) donne

 

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