Paradoxe avec la division de polynômes

[VGRom]

Bonjour,

Je poste un message car je suis confronté à un petit paradoxe. Pour information, je ne suis pas mathématicien de formation, je m'excuse donc par avance si les termes et notations ne sont pas exactes.

Je considère le polynôme g, de degré 2N et à coefficients entiers, suivant :


Je considère un second polynôme, obtenu par l'équation suivante :

où mod désigne le reste de la division.

Le résultat ici est assez simple, on a en effet :


Jusque là tout va bien. Mon problème arrive si je pose x = 1.
En effet, d'une part je dirai que le reste de la division d'un polynôme par 1 est 0. Mais d'autre part, il est possible d'avoir f(1) 0. D'où le paradoxe.

Je n'arrive pas à voir ce qui est incorrect dans ce raisonnement. Si quelqu'un peut m'éclairer sur le sujet, j'en serai très reconnaissant.
Merci par avance

Jérôme

[Sourire_banane]

Bonjour,

Je poste un message car je suis confronté à un petit paradoxe. Pour information, je ne suis pas mathématicien de formation, je m'excuse donc par avance si les termes et notations ne sont pas exactes.

Je considère le polynôme g, de degré 2N et à coefficients entiers, suivant :


Je considère un second polynôme, obtenu par l'équation suivante :

où mod désigne le reste de la division.

Le résultat ici est assez simple, on a en effet :


Jusque là tout va bien. Mon problème arrive si je pose x = 1.
En effet, d'une part je dirai que le reste de la division d'un polynôme par 1 est 0. Mais d'autre part, il est possible d'avoir f(1) 0. D'où le paradoxe.

Je n'arrive pas à voir ce qui est incorrect dans ce raisonnement. Si quelqu'un peut m'éclairer sur le sujet, j'en serai très reconnaissant.
Merci par avance

Jérôme

Salut Jérôme,

On va reprendre du début pour que ça soit propre :
Effectuons la div euclidienne de par
On a bien . Le reste étant de degré strictement inférieur au quotient on a bon.
Si l'on identifie le-dit polynôme avec une fonction polynômiale définie de R dans R, alors si l'on prend x=1, on se retrouve avec divisé par 1 donne un reste nul... Mais cela est toujours vrai car on travaille avec des scalaires là... Je vois pas ton problème à vrai dire !

[VGRom]

Merci pour cette réponse rapide.
Alors je suis tout à fait d'accord avec l'équation écrite ci-dessus.
Mon problème c'est que si l'on prend X = 1, d'un côté on a R(X=1) = 0, car le reste est nul (tu le dis toi-même).
De l'autre côté on a , et ceci n'est pas obligatoirement nul.
Il est là mon problème. Ai-je éclairci mon point ?

[Sourire_banane]

De l'autre côté on a , et ceci n'est pas obligatoirement nul.
Il est là mon problème. Ai-je éclairci mon point ?

Ça c'est faux. Dès lors que l'on passe des polynômes aux scalaires (nombres), on change de problème, et il sera faux de dire que le reste de la division de g_0+...+g_{2N} par 1 est g_0+...+g_{N-1}.

[VGRom]

Alors c'est cela que je ne comprends pas. Pour moi, lorsque j'écris l'équation suivante, elle est définie pour tout x, excepté 0.


Alors ma première question est, pourquoi est-ce que l'on change de problème lorsque l'on passe aux scalaires ? Pourquoi l'équation n'est plus vérifiée si l'on choisi des valeurs pour x ?

Ma deuxième question est, si l'on part de cette même équation en considérant que x peut être complexe et que l'on pose , que se passe t-il ?
Car on a toujours une équation dépendant d'une variable donc on ne traite pas avec des scalaires, mais on retrouve le modulo 1.

[VGRom]

Je t'ai perdu ? J'en conclu donc que mes questions sont stupides.
Comme je l'avais dit au départ, je n'ai pas une formation très avancée en mathématique.

Pour reprendre, la première question n'est en fait pas essentielle, c'était une curiosité. C'est plutôt la seconde qui m'intéresse.
Je pars avec l'équation suivante :
Ce qui est équivalent à
Je peux exprimer donc exprimer f comme suit :
Avec cette dernière équation, je ne vois pas de problème majeur pour poser , j'obtiendrai :

Cependant, j'aimerais pouvoir exprimer q(x) en fonction de g(x), afin de pouvoir exprimer ma sortie uniquement en fonction de mon entrée, mais cette expression contiendrait également un modulo. C'est pourquoi j'aimerais savoir ce qui se passe quand on pose .

Pour plus de détails, en fait dans mon problème, les polynômes sont des transformées en z de séquences. J'étais parti avec x juste pour utiliser une variable usuelle.

[Sourire_banane]

Ben je t'avoue très franchement que j'ai pas mis toute ma (petite) cervelle dans ton problème, et que de fait ma mince expérience ne m'a pas permis de savoir pourquoi il y a une telle différence entre une division de polynômes et une division de scalaires. Attendons de voir si quelqu'un pourra conclure.
Désolé mais je ne peux t'aider que jusque là.

[VGRom]

Ok. Merci.

[Matt_01]

La relation dit juste que f-R est multiple de X^n.
En posant x=1, à aucun moment on obtient R(1)=0. On obtient simplement f(1)-R(1) multiple de ... 1, soit aucune véritable information.

En ce qui concerne ton second problème, qu'entends tu par exprimer q en fonction de g ?

[VGRom]

Bonjour,

Je ne suis pas sur de comprendre f-R, c'est une soustraction ?
f et R désigne en fait la même chose dans les messages précédents, le reste de la division de g par x^N.

Mon point, c'est que pour moi les deux expressions suivantes sont équivalentes, mais avec celle de gauche j'ai des problèmes pour certaines valeurs de x.


Avec :


Pour le second problème, en fait je me rends compte que je n'ai pas donné la situation où ça m'intéresse de changer x. En fait, je pars de l'équation suivante, mais j'ai le même soucis qu'au dessus.


Avec :


Mais dans ce dernier cas ça ne me choque pas, car d'après l'équation de départ on ne peut pas avoir x^N-1 = 0, i.e. |x|=1, car cela reviendrait à diviser par 0.
Alors que pour le premier cas, la seul interdit est x=0, donc je suis étonné d'avoir un problème si je pose |x|=1.

Merci d'avance. Il ne faut pas hésiter à me dire si mes explications ne sont pas claires, mais j'espère que là elles le sont.

[Matt_01]

Le problème c'est que les congruences sont fausses une fois que tu sors de Z.
A la base, vu qu'on a des polynomes de Z, quand on écrit f(x)=g(x)-q(x)x^N, tout est entier.
Quand on prend pour x une racine n ème de l'unité, rien ne nous assure que q(x) sera entier, et la congruence ne veut plus rien dire (si ce n'est qu'il existe un multiple complexe de 1 entre f(x) et g(x)).
En fait, c'est dû au fait qu'on est certain que la propriété de congruence se conserve de polynôme à réel seulement lorsque l'on prend x entier (car alors on est assuré que g(x) est entier).

[VGRom]

Merci pour la réponse.

Donc en fait, si je pars sur les complexes, il faut oublier la formule avec le modulo et utiliser l'autre qui contient simplement un produit et une soustraction de polynômes.

Juste pour la curiosité, si je prends x = 1, j'ai quand même un soucis à gauche, non ?

[Matt_01]

Merci pour la réponse.

Donc en fait, si je pars sur les complexes, il faut oublier la formule avec le modulo et utiliser l'autre qui contient simplement un produit et une soustraction de polynômes.

Juste pour la curiosité, si je prends x = 1, j'ai quand même un soucis à gauche, non ?

Ben non, ici tout est entier donc tout est congru à 0 modulo 1.

[VGRom]

Mais ici, on ne parle pas de congruence, on parle de reste d'une division Euclidienne.
Même si c'est lié, ce n'est pas la même chose, non ?

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Remainders

[Sourire_banane]

Mais ici, on ne parle pas de congruence, on parle de reste d'une division Euclidienne.
Même si c'est lié, ce n'est pas la même chose, non ?

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Remainders

Si c'est la même chose.

Ecrire a b (mod n) c'est la même chose qu'écrire k Z / a = kn + b

[Doraki]

Je comprends pas ton problème.

Pour des polynômes,
C(x) est le reste de la division euclidienne 'de polynômes) de A(x) par B(x),
ça veut dire "il existe un polynôme Q(x) tel que A(x) = Q(x)*B(x)+C(x), et C est de degré < celui de B(x)".

Pour des entiers,
C est le reste de la division euclidienne de A par B
ça veut dire "il existe un entier Q tel que A = Q*B+C et 0 <= C < B"

Tu devrais t'apercevoir que quand tu évalues les polynômes, la condition "le polynôme C(x) est de degré < celui de B(x)" ne dit absolument rien à propos de C(1), et donc tu n'as aucune raison d'espérer que C(1) soit le reste de la division euclidienne (d' entiers) de A(1) par B(1).

Donc quand tu dis A(x) = C(x) mod B(x), et A(1) = C(1) mod B(1), l'opération "mod" ne désigne pas du tout la même chose et l'un peut être vrai sans que l'autre le soit.

[VGRom]

D'accord. C'est juste que je prenais cette opération comme une fonction classique, que je pouvais calculer son expression puis regarder la valeur pour certains cas particuliers, ce qui n'est pas le cas.

Merci pour les éclaircissements.