"Belle au bois dormant"; y a-t-il réellement paradoxe?

[Bastien L.]

Bonjour à tous!



Tous d’abord, bonne année, bonne santé, et tous mes meilleurs vœux pour 2009!






J’aimerais aborder le problème dit “de la belle au bois dormant”.

À tout hasard, voici un rappel des règles, copié depuis l’article de Wikipédia:
“Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant (appelons-la Aurore) est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face. Le tirage n'est pas truqué. Si la pièce tombe sur face, le lendemain (le lundi), on réveille Aurore et on a un entretien avec elle. Si c’est pile, on la réveille le lundi, on a un entretien avec elle, puis on la rendort en lui administrant un somnifère à effet amnésique qui lui fait complètement oublier la journée du lundi. Enfin, toujours dans le cas de pile, on la réveille à nouveau le mardi et on a un autre entretien avec elle.” Quelques unes des différentes thèses qui existent y sont aussi répertoriées.

Au cours de l'entretien, on lui pose la question : « Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur pile ? »

Étant parfaitement au courant des règles, et maîtrisant parfaitement les principes de l'inférence bayésienne, que répondra-t-elle ?

À noter qu'à chaque réveil, Aurore ignore si on est lundi ou mardi. Tout ce qui est dans ce paragraphe est bien entendu connu de notre princesse.

Afin que le lecteur comprenne bien le sens de la question posée à Aurore, on peut reformuler ainsi le problème : Si, au cours de l'entretien, Aurore dit « La pièce est tombée sur pile », quelle est la probabilité qu'elle ait raison ?”


Il me semble que, contrairement à ce qu’on lit beaucoup sur Wikipédia ou ailleurs, même en appliquant l’inférence Bayésienne, à condition d’être rigoureux et de choisir les bons priors, il n’y a pas contradiction; la thèse tiériste triomphe...





Et vous, s’il vous plaît, quel est votre avis?

[Clembou]

Bonjour à tous!



Tous d;)abord, bonne année, bonne santé, et tous mes meilleurs v;)ux pour 2009!






J;)aimerais aborder le problème dit de la belle au bois dormant;).

À tout hasard, voici un rappel des règles, copié depuis l;)article de Wikipédia:
Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant (appelons-la Aurore) est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face. Le tirage n'est pas truqué. Si la pièce tombe sur face, le lendemain (le lundi), on réveille Aurore et on a un entretien avec elle. Si c;)est pile, on la réveille le lundi, on a un entretien avec elle, puis on la rendort en lui administrant un somnifère à effet amnésique qui lui fait complètement oublier la journée du lundi. Enfin, toujours dans le cas de pile, on la réveille à nouveau le mardi et on a un autre entretien avec elle. Quelques unes des différentes thèses qui existent y sont aussi répertoriées.

Au cours de l'entretien, on lui pose la question : « Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur pile ? »

Étant parfaitement au courant des règles, et maîtrisant parfaitement les principes de l'inférence bayésienne, que répondra-t-elle ?

À noter qu'à chaque réveil, Aurore ignore si on est lundi ou mardi. Tout ce qui est dans ce paragraphe est bien entendu connu de notre princesse.

Afin que le lecteur comprenne bien le sens de la question posée à Aurore, on peut reformuler ainsi le problème : Si, au cours de l'entretien, Aurore dit « La pièce est tombée sur pile », quelle est la probabilité qu'elle ait raison ?;)


Il me semble que, contrairement à ce qu;)on lit beaucoup sur Wikipédia ou ailleurs, même en appliquant l;)inférence Bayésienne, à condition d;)être rigoureux et de choisir les bons priors, il n;)y a pas contradiction; la thèse tiériste triomphe...





Et vous, s;)il vous plaît, quel est votre avis?

Bonne année à toi aussi... Si ta belle au bois dormant connait l'inférence Bayésienne, elle est sûrement plus intelligente que moi :zen:

PS : Désolé pour ce message inutile mais je ne connais pas l'inférence Bayésienne. Peut-être que ça a un rapport avec la formule de Bayes vue en proba...

[Bastien L.]

Bonjour!


L'article de Wikipédia sur l'inférence bayésienne est assez clair. En effet, comme le dit l'article, "On nomme inférence bayésienne la démarche logique permettant de calculer ou réviser la probabilité d'une hypothèse. Cette démarche est régie par l'utilisation de règles strictes de combinaison des probabilités, desquelles dérive le théorème de Bayes.".

Voilà. Bonne journée!

[guigui51250]

bah je ne vois pas trop le problème, elle n'a pas une chance sur deux d'avoir raison? soit c'est pile, soit c'est face, non? J'ai lu le lien vers wikipédia, je n'ai pas compris grand chose, je ne suis pas trop probabilité ^^, où devrait être le paradoxe?

[ffpower]

eh bien il est vrai que si elle répond tout le temps pile sur le long terme,elle aura raison 2/3 du temps,vu que qd la piece tombe sur pile,elle aura raison 2 fois de suite..Cela dit il est vrai que la piece elle,n a quune chance sur 2 de tomber surpile a chaque lancer,c est un fait incontestable^^.donc je dirai que la proba qu elle ait raison pour un lancer fixé,c est 1/2,mais si le but c est d avoir raison le plus de fois possible sur le long terme,vaut mieux toujours dire pile..

[Bastien L.]

Bonsoir ffpower!


En effet, ton résumé me semble un bon point de départ. Mais il me semble qu'il est à compléter.

À propos du point de vue fréquentiste, que tu expose en premier, rien à dire, à mon avis.

Quant à:

Cela dit il est vrai que la piece elle,n a quune chance sur 2 de tomber surpile a chaque lancer,c est un fait incontestable^^.donc je dirai que la proba qu elle ait raison pour un lancer fixé,c est 1/2

,
je dirais ceci:
Il ne faut pas oublier que la belle s'interroge en étant dans l'expérience, et non en étant après l'expérience. Donc, elle peut se trouver dans quatre cas différents (dans l'absolu, évidemment, avant qu'elle ne se réveille), et seulement quatre: (L;P); (M;P); (L;F); (M;F) (je me permets de ne pas préciser le sens de chaque lettre, et je précise qu'un tableau à double entrée, avec "F" et "P" en intitulés de colonnes, et "L" et "M" en intitulés de lignes ilustre bien la situation). Évidemment, chaque situation est équiprobable aux autres, puisqu'on a autant de chances d'être lundi que d'être mardi (toujours dans l'absolu), et autant de chances d'avoir un tirage "pile" que d'avoir un tirage "face", toujours dans l'absolu. Donc, tout cela pour dire que lorsque la belle s'interroge, elle n'est pas mercredi, réveillée, en train de réfléchir sur un des réveils qu'elle a eus précédemment, sans qu'elle sache qu'elle jour il a eu lieu et s'il a été unique ou non. Lorsqu'elle s'interroge et qu'on lui demande "Pensez-vous être dans un réveil consécutif à un tirage "pile" ou dans un réveil consécutif à un tirage "face", sachant que vous êtes dans l'expérience que nous venons de vous décrire (puisque, droguée, vous aviez tout oublié)?", cela revient à lui demander "Dans quel cas pensez-vous être?. Dès lors, on n'est plus dans un raisonnement "dans l'absolu", ou "a priori"; soit on applique le raisonnement fréquentiste que tu as décrit, soit on applique le théorème de Bayes, mais avec les bons priors, et sans en oublier, et alors, ça fonctionne, je l'écrirai, si vous voulez...

[Bastien L.]

En fait, je suis trop impatient, je l'écrit...


Tout d'abord, un petit rappel du théorème de Bayes, pour ceux qui n'aiment pas les probabilités:

.

Très important: dans cette relation, qui vise à calculer la probabilité de A dans une expérience qui a déjà donné B, c'est-à-dire, a postériori, le "B" qui apparaît au dénominateur est dit un "prior", c'est-à-dire qu'il s'agit de la probabilité a priori de B, "dans l'absolu", en quelques sortes. Il tient lieu de la calculer en tant que telle, et de ne surtout pas se laisser influencer par le fait qu'on cherche à calculer "A sachant B". C'est aussi le cas des "A" qui apparaissent au numérateur. Tout est expliqué dans cet article de Wikipédia.


Pour notre problème, on cherche à déterminer la probabilité pour la belle d'être un jour consécutif à un tirage "Pile" sachant qu'elle est un jour où elle est réveillée, et dans l'expérience. Je note: P(P sachant R). Je sais que la phrase qui explicite "P sachant R" est très très lourde, mais c'est peut-être la plus importante!

Le théorème de Bayes donne:



Or, d'une part quelles sont les valeurs respectives de P et R en tant que priors?
Évidemment, en tant que priors: P(P)=P(F)=1/2.
D'autre part, P(R) - c'est-à-dire, la probabilité d'être dans un jour où la belle est réveillée, et surtout pas (!) la probabilité que la belle ait été réveillée dans l'expérience -, P(R)=3/4, puisqu'on sait que sur quatre cas équiprobables (cf. le tableau à double entrée décrit plus haut), un seul ne donne pas lieu à un réveil.
Enfin, P(R sachant P)=1, puisque dans le cas d'un tirage "Pile" la belle est forcément réveillée, que l'on soit lundi ou mardi.

Donc, on a:

. C.Q.F.D.



De toutes part, on lit des calculs bayésiens qui montrent deux types d'erreurs redondantes: soit le "sachant réveil" est oublié dès le départ (j'ai essayé d'insister assez sur son importance, par rapport à l'énoncé), soit les valeurs des priors sont fantaisistes. Et ce aussi bien dans les calculs qui aboutissent à (1/2;1;2) que dans ceux qui aboutissent à (1/3;2;3). (Je défend le résultat tiériste, mais bon nombre d'arguments tiéristes me semblent erronés, et c'est pour ça, je pense, qu'ils donnent aussi (1/2;1/2) utilisés différemment.

Se reporter par exemple à Wikipédia, ou à un article rédigé très récemment par Monsieur Laurent Delabre, qui a essayé de répertorier les différentes thèses qui coexistent.


P.-S.: Je n'ai trouvé nulle part comment écrire la barre verticale signifiant "sachant". Si quelqu'un sait faire...

[fatal_error]

Pour la barre verticale, c'est le pipe : alt-gr + 6

[Bastien L.]

Sur Mac, pas de "Alt Gr.", mais je ne connais pas tous les équivalents...