Nombres périodiques

[Ticot]

Bonjour bonjour :we: !

Je m'intéresse aux nombre périodiques, c'est à dire les trucs du genre 0,13131313... ou 5,123123123... jusqu'à l'infinie. Une période se répète par exemple dans 0,131313... c'est 13 qui se répète jusqu'à l'infini. Ils peuvent tous d'écrire sous une forme . C'est bien sûr a peu près ce que j'ai compris donc je pense qu'on peut dire autre chose sur eux... enfin bref :lol2:. Curieux, je voulais créer un programme sur calculatrice qui permettais de rendre un nombre périodique sous la forme a/b. J'essaie d'abord de le faire à la main : je me suis aidé grâce au 0,9999... = 1. J'ai eu alors :
[INDENT]x = 61,67676767...
100x = 6167,676767...
99x = 6106
x = 6106/99[/INDENT]
Puis j'en ai fait avec d'autres et... j'ai trouvé une formule, qui existe peut-être, qui ne marche peut-être pas pour certains nombres, je ne sais pas, mais j'arrive à conclure que :
Soit x un nombre périodique, A sa partie entière (pour 61,676767..., c'est 61), B sa période (pour 61,676767..., c'est 67) et H la longueur de la période (pour 61 c'est 2) alors on a:
[INDENT][/INDENT]
Je me demandais si quelqu'un pourrait affirmer sa justesse... ou pas. Ou juste commenter :ptdr:

[Ticot]

Je voulais juste préciser que pour savoir le nombre de chiffre dans un nombre on fait, pour n le nombre à qui on recherche le nombre de chiffres (N != 0) et x le nombre de chiffres :
[INDENT][/INDENT]
Sa marche pour les nombres négatifs et positifs sauf pour 0 !
Et pour calculatrice, Casio, c'est : [INDENT]Int log Abs N+1 X[/INDENT]

[leon1789]

Puis j'en ai fait avec d'autres et... j'ai trouvé une formule, qui existe peut-être, qui ne marche peut-être pas pour certains nombres, je ne sais pas, mais j'arrive à conclure que :
Soit x un nombre périodique, A sa partie entière (pour 61,676767..., c'est 61), B sa période (pour 61,676767..., c'est 67) et H la longueur de la période (pour 61 c'est 2) alors on a:
[INDENT][/INDENT]

C'est une formule correcte (car la période commence juste après la virgule).

[Ticot]

Pfiouu... :we: Mais comment le démontrer ? Y'a t il aussi un autre moyen ? Merciiiiiiiii !

[leon1789]

Pfiouu... :we: Mais comment le démontrer ?

avec une équation, comme tu as fait :
soit x= A,BBBBBB...
x-A = 0,BBBBBB...
10^H (x-A) = B,BBBBB...
10^H (x-A) = B + 0,BBBBB...
10^H (x-A) = B + x-A
(10^H-1)x = A.10^H + B - A
x = (A.10^H + B - A) / (10^H-1)

Y'a t il aussi un autre moyen ? Merciiiiiiiii !

Personnellement, j'ai utilisé une série géométrique.

[Ticot]

avec une équation, comme tu as fait :
soit x= A,BBBBBB...
x-A = 0,BBBBBB...
10^H (x-A) = B,BBBBB...
10^H (x-A) = B + 0,BBBBB...
10^H (x-A) = B + x-A
(10^H-1)x = A.10^H + B - A
x = (A.10^H + B - A) / (10^H-1)

A reprendre :lol2: C'est très très bien démontré, bravo, no contest you are the best :king2:

Personnellement, j'ai utilisé une série géométrique.

Hmm... je crois que j'ai pas encore le niveau xD

Vraiment merci, je pourrait enfin dire à mon pote "dans ta face" pour la démonstration :lol2:

[Ben314]

Salut,
Si tu veut t'amuser, tu peut aussi chercher la réciproque, à savoir que :
Si p/q est un quotient (positif) alors, à partir d'un certain rang, l'écriture décimale de p/q est périodique.

Par exemple, 69/44=1,56818181818181....

[Sve@r]

Salut,
Si tu veut t'amuser, tu peut aussi chercher la réciproque, à savoir que :
Si p/q est un quotient (positif) alors, à partir d'un certain rang, l'écriture décimale de p/q est périodique.

Par exemple, 69/44=1,56818181818181....

Ca peut se trouver en partant de 156.181818... pour trouver p/q selon la méthode dont on parle au début du post puis remplacer ensuite q par 100q...

[Ben314]

O.K., mais ça ca ne marche que si je te donne une valeur "concrète" comme 69/44 où tu regarde "à la main" les premier chiffre, puis tu conjecture que c'est périodique, puis tu le démontre en partant de l'écriture périodique et en vérifiant qu'elle vaut bien 69/44.

Ce que je voulais, c'est une preuve générale que tout quotient p/q admet une écriture périodique à partir d'un certain rang (i.e. le 69/44 n'était qu'un exemple pour montrer que la période peut ne pas commencer dés le premier chiffre)

[benekire2]

Je me souviens d'un "vieux" post sur ce genre de questions , et tout réside dans la division euclidienne ( enfin j'ai pas re-vérifié ) .. :we:

[Ben314]

Je sais que c'est un des truc qui va dans le sens "les décimaux, c'est pas super interessant en math" :
Pour un réel x donné, le fait d'avoir ou pas une écriture finie en base b dépend de la base choisie (=> pas super interessant) alors que le fait d'avoir ou pas une écriture périodique en base b ne dépend pas de la base b choisie (=> plus interessant comme notion)

[Sve@r]

O.K., mais ça ca ne marche que si je te donne une valeur "concrète" comme 69/44 où tu regarde "à la main" les premier chiffre, puis tu conjecture que c'est périodique, puis tu le démontre en partant de l'écriture périodique et en vérifiant qu'elle vaut bien 69/44.

Oui, c'est effectivement ce que j'ai fait.

Ce que je voulais, c'est une preuve générale que tout quotient p/q admet une écriture périodique à partir d'un certain rang (i.e. le 69/44 n'était qu'un exemple pour montrer que la période peut ne pas commencer dés le premier chiffre)

Ben justement, suite à mon post précédent je me demande s'il ne faudrait pas partir sur ce qui donnera toujours un nombre où la période démarre dès la première décimale puis jouer ensuite du dénominateur en le multipliant ou divisant par 10 pour décaler d'autant le début de la période...

[Ben314]

En fait, la preuve est extrèmement simple : lorsque tu pose la division de p par q (comme dans le primaire), dés que tu arrive au moment ou tu "pose la virgule", tout les reste de divisions que tu va mettre à gauche seront compris entre 0 et q-1 et tu rajouteras systématiquement un 0 derrière le reste pour faire la division suivante.
Sauf que des entiers entre 0 et q-1, il n'y en a qu'un nombre fini, donc à un moment ou un autre, tu retombera sur un reste que tu as déjà trouvé précédement et, évidment, à partir de ce moment là tu ne va faire que recopier des opérations déjà faites précédement => tu as une période.