Longueur de courbe d'une equation à 2 paramètres

[InvoVik]

Bonjour, je suis nouveau sur le forum.

Je travail actuellement à déterminer l'enveloppe d'une ellipse dont la position dépend de son inclinaison. L'équation paramétrique qui traduit la position de l'ellipse et la suivante :
X = X_0 + cos(phi)*cos(zeta)/a + sin(phi)*sin(zeta)/b
Y = Y_0 - sin(phi)*cos(zeta)/a + cos(phi)*sin(zeta)/b
X_0 et Y_0 dépendent de l'angle phi et zeta est l'angle qui positionne le point sur l'ellipse.

J'ai réussi à déterminer que zeta doit remplir la condition suivante pour satisfaire à l'enveloppe :
A*tan(zeta) + B*sin(zeta) + C = 0
Le problème est que cette équation est transcendante. J'ai donc effectuer une résolution numérique par Newton-Raphson qui fonctionne très bien.

Cependant cela engendre plusieurs problèmes :
- Je cherche à calculer l'intersection de mon enveloppe avec une autre courbe. Je souhaite aussi utiliser Newton-Raphson en 2 dimensions mais comme je n'ai pas d'équation explicite qui lie zeta à phi je ne suis pas en mesure de dériver mon équation paramétrique pour appliquer la méthode.
- Je cherche à calculer la tangente en tout point de la courbe et la dérivée me pose aussi problème.
- Je cherche à discrétiser la fonction de l'enveloppe se sorte à ce que les points soit équidistants. Pour se faire j'ai besoin de calculer la longueur de l'enveloppe mais je fait face au même problème que dans les questions précédentes.

Merci pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Pourrais-tu décrire plus précisément la façon dont bouge ton ellipse ? Ton X_0et Y_0dépendent de phi n'est pas très explicite. Ça pourrait peut-être donner une idée d'un autre calcul de l'enveloppe.
Merci.

vam edit

[vam]

Gbzm, nous sommes en panne de Ltx pour le moment

[InvoVik]

Merci pour ta réponse GaBuZoMeu,

X_0 et Y_0 décrivent une développante de cercle (avec un décalage initial) que j'ai paramétré de la manière suivante :
X_0 = -(E + r*phi)*cos(phi) + (r - H)*sin(phi)
Y_0 = (E + r*phi) + (r - H)*cos(phi)
Avec :
- phi : l'angle de la développante
- r : le rayon de la développante
- E : un décalage initial suivant x
- H : un décalage initial suivant y
Tout les termes sont constants à l'exception de phi.

La dérivée de X_0 et Y_0 par rapport à phi est égale à :
X_0' = (E + r*phi)*sin(phi) - H*cos(phi)
Y_0' = (E + r*phi)*cos(phi) + H*sin(phi)

Si on reprends l'équation de l'ellipse :
X = X_0 + cos(phi)*cos(zeta)/a + sin(phi)*sin(zeta)/b
Y = Y_0 - sin(phi)*cos(zeta)/a + cos(phi)*sin(zeta)/b

Pour déterminer l'enveloppe on doit calculer les dérivées partielles par rapport à phi et par rapport à zeta.
Dérivée partielle par rapport à phi :
X'(phi) = X_0' - sin(phi)*cos(zeta)/a + cos(phi)*sin(zeta)/b
Y' (phi)= Y_0' - cos(phi)*cos(zeta)/a - sin(phi)*sin(zeta)/b
Dérivée partielle par rapport à zeta :
X'(zeta) = -cos(phi)*sin(zeta)/a + sin(phi)*cos(zeta)/b
Y'(zeta) = sin(phi)*sin(zeta)/a + cos(phi)*cos(zeta)/b

Pour obtenir l'angle zeta formant l'enveloppe à tout angle phi, il suffit de résoudre l'équation suivante :
X'(phi)*Y'(zeta) - Y'(phi)*X'(zeta) = 0
En développant / refactorisant le tout on arrive à l'équation suivante :
((X_0'*sin(phi) + Y_0' * cos(phi))/a)*tan(zeta) - (1/a^2 - 1/b^2)*sin(zeta) + (X_0'*cos(phi) - Y_0'*sin(phi)) / b = 0

Voilà tout les éléments que je peut te donner

[vam]

Latex est relancé

[InvoVik]

Je me permet de réécrire les équations avec Latex ainsi que de corriger quelques erreurs :

Equation du centre de l'ellipse :


Dérivée partielle par rapport à phi :


Equation de l'ellipse :


Dérivée partielle par rapport à phi :


Dérivée partielle par rapport à zeta :


Equation de l'enveloppe :


En développant / factorisant :


Soit une forme :